Tuyển chọn một số bài Toán nâng cao lớp 7

 TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP 7 
 A.PHẦN ĐẠI SỐ: 
Thầy Ngọc – THCS Thị Trấn
Bài 1: So sỏnh: và .
Gợi ý: Ta cú: ; 
Bài 2: Tớnh tỉ số , biết: 
Gợi ý: Nhận thấy 2008 + 1 = 207+2 = .
 = .
Bài 3: Cho x, y, z, t N.
 Chứng minh rằng: M = cú giỏ trị khụng phải là số tự nhiờn.
Gợi ý: Ta cú:
Bài 4: Tỡm x; y Z biết: 
a) 25 – = 8(x – 2009)2; b) = + 1997; c) x + y + 9 = xy – 7.
Gợi ý: a) Ta cú 8(x – 2009)2 0, suy ra 25 – 0
	Mà VP chẵn nờn VT chẵn, suy ra y lẻ.
	Suy ra y2 = 1; 9; 25. Chỉ cú y = 5, – 5 thoả món.
b) = + 1997 
Vỡ VT là hợp số, VP = 1997 là số nguyờn tố. Suy ra khụng cú giỏ trị của x, y.
c) Chuyển về toỏn ước số. 
Bài 5: Tỡm x biết : 
a) ; b) .
Gợi ý: a) Xột cỏc khoảng giỏ trị
b) Chỉ cú trường hợp: 
Bài 6: Chứng minh rằng : < 1
Gợi ý: 
Bài 7: Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giỏ trị 1 hoặc –1. 
Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thỡ n chia hết cho 4.
Gợi ý: Ta cú xn.xn+1 = 1 hoặc – 1, mà x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0, suy ra số hạng cú giỏ trị 1 và – 1 bằng nhau, suy ra n chẵn, suy ra n = 2k.
	Ta lại cú: (x1.x2)(x2.x3) ... (xn.x1) = (x1.x2.x3 ... xn.) = 1 > 0, suy ra cú chẵn thừa số – 1, nờn k = 2m
Do đú: n = 2k = 4m 4.
Bài 8: Chứng minh rằng: 
 S = < 0,2
Gợi ý: Tớnh 2S – S 
Bài 9: Tớnh giỏ trị của biểu thức A = + giả sử , với n > 3.
Gợi ý: Từ x 1(x – 1)(x2+x+1) = 0 x3 – 1 = 0 x3 = 1
 Do đú: A = + = + = (xC).
Bài 10: Tỡm max của biểu thức: A = .
Gợi ý: Ta cú: 
	 . Suy ra 
Bài 11: Cho x, y, z là cỏc số dương. Chứng minh rằng :
 D = 
Gợi ý: 
Áp dụng BĐT Cụ-si ta cú: 
 (*)
 (**)
Lấy (*) nhõn (**) ta được: 
Suy ra: D , dấu “=” xảy ra khi x = x = z.
Bài 12: Tỡm tổng cỏc hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: 
A(x) = ( 3 – 4x + x2 )2004 .( 3 + 4x + x2 )2005 
Gợi ý: Tổng hệ số: ( 3 – 4 + 1 )2004 .( 3 + 4 + 1 )2005 = 0.
Bài 13: Tỡm cỏc số a, b, c nguyờn dương thỏa món : và a + 3 = 
Gợi ý: Từ: 
	Nếu c – 1 > 0, b – 1 > 0 thỡ VT cú tận cựng là 6 hoặc 1, cũn VP tận cựng la 5, vụ lý.
	Chỉ cú thể xảy ra: a = 2, b = c = 1.
Bài 14: Cho x = 2005. Tớnh giỏ trị của biểu thức :
Gợi ý: Tỏch, nhúm, rồi thay x = 2005 vào.
Bài 15: Rỳt gọn biểu thức : N = 
Gợi ý: Xột hai trường hợp.
Bài 16: Trong 3 số x, y, z cú 1 số dương, 1 số õm và một số 0. Hỏi mỗi số đú thuộc loại nào biết: .
Gợi ý: Ta cú : , suy ra: x 0, z = 0. 
Bài 17: Tỡm hai chữ số tận cựng của tổng sau :
 B = 
Gợi ý: B = = 
	32010 = 32.(34)502 = 9.(...1) = 9, suy ra 32010 – 3 cú tận cựng 6, suy ra B cú tận cựng 2. 
Bài 18: Cho 3x – 4y = 0. Tỡm GTNN của biểu thức : M = . 
Gợi ý: Áp dụng BĐT Bu - nhi - a - cop - xki, hoặc dựng hằng đẳng thức.
Bài 19: Tỡm x, y, z biết : .
Gợi ý: 
Bài 20: Tỡm x, y biết rằng: x+ y+ = 4
Gợi ý: x+ y+ = 4 
Bài 21: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chớnh phương.
Gợi ý: Đặt x = 111..1 (n chữ số 1)
	Ta cú 10n = 9x + 1, 
Suy ra: a = x10n + x = x(9x + 1) + x; b = 10x + 1; c = 6x.
Ta cú: a + b + c + 8 = x(9x + 1) + x + 10x + 1 + 6x + 8 = 9x2 + 18x + 9 = (3x + 3)2.
Cỏch khỏc: Quy về dạng tổng quỏt: a = (102n – 1):9, .
Bài 22: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn a, tồn tại số tự nhiờn b sao cho ab + 4 là số chớnh phương.
Gợi ý: Giả sử ab + 4 là số chớnh phương. Khi đú ab + 4 = n2, suy ra (n + 2)(n – 2) = ab, luụn đỳng với mọi ab.
Bài 23: Chứng minh rằng nếu cỏc chữ số a, b, c thỏa món điều kiện thỡ . 
Gợi ý: Ta cú: 
Bài 24: Tỡm phõn số khỏc 0 và số tự nhiờn k, biết rằng .
Gợi ý: (vỡ n 0).
	+ Nếu k = 1, loại.
	+ Nếu , m nguyờn nờn k = 2, suy ra m = 2, n tuỳ ý.
Bài 25: Cho hai số tự nhiờn a và b (a < b). Tỡm tổng cỏc phõn số tối giản cú mẫu bằng 7, mỗi phõn số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Gợi ý: 
- Những phõn số lớn hơn a nhỏ hơn b cú mẫu là 7 là:
Tổng của chỳng là: 
	- Những phõn số lớn hơn a nhỏ hơn b sau khi rỳt gọn (vỡ 7 là số nguyờn tố) là: 
Tổng của chỳng là: 
Tổng phải tỡm là: 
Bài 26: Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chớnh phương (n lẻ).
Gợi ý: 
Bài 27: Tỡm n biết rằng: n– n+ 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Gợi ý: Chia n– n+ 2n + 7 cho n + 1, được n – 1, dư n + 8, tức là: 
Bài 28: Chứng minh rằng: B = là hợp số với mọi số nguyờn dương n.
Gợi ý: Ta cú: , là bội của 3 dư – 1, nờn cú dạng 3k + 2.
	Do đú: 
	Ta cú: chia cho 7 dư 1, nờn chia cho 7 dư 4, suya ra B chia hết cho 7.
Bài 29: Tỡm số dư khi chia (n – 1)111 . (n – 1)333 cho n.
Gợi ý: Ta cú: n – 1 chia cho n dư – 1, n – 1 chia cho n dư – 1.
	 (n – 1)111 chia cho n dư – 1, (n – 1)333 chia cho n dư – 1
	Suy ra: (n – 1)111 . (n – 1)333 chia cho n dư 1.
Bài 30: Tỡm số tự nhiờn n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5.
Gợi ý: Đặt A = 1n + 2n + 3n + 4n,
- Nếu n = 4k + 1, n = 4k + 3, thỡ 1n + 4n 5 và 2n + 3n 5, nờn A 5.
- Nếu n = 4k + 2, thỡ A = 1n + 2n + 3n + 4n = (1 + 42k+1) + (92k+1 + 162k+1) 5 
- Nếu n = 4k , thỡ A = 1n + 2n + 3n + 4n = 1 + 42k + 92k+ 162k cú tận cựng là 4, khụng chia hết cho 5. Vậy n khụng chia hết cho 4, thỡ A chia hết cho 5.
Bài 31: Chứng minh rằng: 
a) Nếu a khụng là bội số của 7 thỡ a6 – 1 chia hết cho 7.
b) f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 – 9) cú ớt nhất 4 nghiệm.
c) a5 – a chia hết cho 10. 
Gợi ý:
a) Ta cú: 
- Nếu a = 7k + 1, thỡ a2 – 1 = (7k + 1)2 – 1 = 49k2 + 14k 7 
- Nếu a = 7k + 2, thỡ a2 + a + 1 7 
- Nếu a = 7k + 3, thỡ a2 – a + 1 7 
.
Túm lại, với mọi a khụng chia hết cho 7 thỡ a6 – 1 chia hết cho 7.
* Tổng quỏt: a7 – a chia hết cho 7 với mọi a. 
b) Ta cú: f(–1)(12 – 1) = f(–1)(12 – 9) f(–1) = 0, ... f(x) cú ớt nhất 4 nghiệm. 
c) Ta cú: a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1) = (a – 1)a(a + 1)(a2 + 1) 10 
Bài 32: Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = , tại (x2 – 1) + (y – z)2 = 16.
Gợi ý: 
Bài 33: Chứng minh rằng: 
a) 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) là một số nguyờn.
b) M = khụng thể là số nguyờn.
c) Khi viết dưới dạng thập phõn thỡ số hữu tỉ cú ớt nhất 4000 chữ số 0 đầu tiờn sau dấu phẩy.
Gợi ý: 
a) Ta cú: ( 20072005 – 20032003 ) = 2k
b) Mẫu chia hết cho 9, cũn tử khụng chia hết cho 9.
c) Ta cú : 
Bài 34: So sỏnh A và B biết :
 A = và B = .
Gợi ý: 
Bài 35: Tỡm x biết:
	a.  ; b. (4x – 3)4 = (4x – 3)2
Gợi ý: a) Rỳt gọn phõn số.
	 b) Chuyển vế, đặt nhõn tử chung.
Bài 36: Ba ụ tụ cựng khởi hành từ A đi về phớa B. Vận tốc của ụ tụ thứ nhất kộm vận tốc của ụ tụ thứ hai là 3km/h. Thời gian ụ tụ thứ nhất, thứ hai, thứ ba đi hết quảng đường AB lần lượt là 40 phỳt, giờ, giờ. Tớnh vận tốc của mỗi ụ tụ. 
Gợi ý: Dựng tỉ lệ thức.
Bài 37: Chứng minh rằng + a (a Z+) là số vụ tỉ.
Gợi ý: Chứng minh là số vụ tỉ.
Bài 38: Cho cỏc số thực a, b sao cho tập hợp {a2 + a ; b} và {b2 + b ; b} bằng nhau. Chứng minh rằng : a = b.
Gợi ý: Hai tập hợp bằn nhau nếu mọi phần tử của tập hợp này là phần tử của tập hợp kia, ngược lại. 
Bài 39: Cho năm số tự nhiờn a, b, c, d, e thỏa món : ab = bc = cd = de = ea. 
Chứng minh rằng : a = b = c = d = e.
Gợi ý: Giả sử ab. Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử a > b.
	Từ ab = bc = cd = de = ea và a c, c e, e b, mõu thuẩn, nờn a = b.
	- Nếu a = b = 1, thỡ c = d = e = 1, suy ra a = b = c = d = e.
	- Nếu a = b > 1, thỡ c = d = e, suy ra a = b = c = d = e.
Bài 40: Tỡm x, y biết:
a) 5x – 17y = 2xy và x – y = 5; 2x + 3y = xy.
b) x + 2y – 3z = 5xyz và (x – 2y)(y + 7) – x = 192, với x, y, z > 0.
Gợi ý: 
Bài 41: So sánh: và (hoặc )
Gợi ý: Ta cú: 55 = 3125; 3.210 = 3072, nờn 55 > 3.210
	Suy ra: (55)51 > (3.210)51 = 351.2510 (1)
	Ta chứng minh: 351 > 279
	Ta cú: 37 > 211 (2187 >2048) => (37 )7 > (211)7 => 349 > 277 , mà 32 > 23, nờn 32.349 > 22. 277 
	=> 351 > 279 (2) 
	Từ (1), (2) suy ra đpcm.
Bài 42: Tỡm nghiệm của đa thức sau : 
 	a) ; b) (x, y là số nguyờn tố)
c) Chứng minh rằng đa thức f(x) = khụng cú nghiệm.
Gợi ý: 
a) x = 2, x = 3	
b) = 0 x = 5 ; y = 2
Xột chữ số tận cựng và chữ số chớnh phương ở hai vế ta suy ra 	
c) Xột từng khoảng	
+ Xột x 0 lập luận dẫn đến f(x) 1 > 0
+ Xột 0 0
+ Xột x 1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
 Trong cả ba khoảng trờn đều cú f(x) > 0 nờn đa thức f(x) khụng cú nghiệm.
Bài 43: Cho a, b, c đụi một khỏc nhau và . Biết là số nguyờn tố và . Tỡm .
Gợi ý: - Từ giả thiết hoỏn vị cỏc trung tỉ và ỏp dụng tớnh chất dày tỉ số bằng nhau cú nờn b2 = ac.
- Đo là 1 số nguyờn tố cú hai chữ số nờn b 
- Đo ac = b2, ta xột cỏc trường hợp :
+) b = 1 => a = c = 1 (loại do a c)
+) b = 3 => a.c = 9 = 1.9 (do ac) => (do 93 khụng là số nguyờn tố)
cú (chọn)
b = 7 và b = 9 điều bị loại do dẫn đến a = c
Vậy 
Bài 44: Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
Gợi ý: Biến đổi vế trỏi:
Tương tự, suy ra đpcm.
Bài 45: Cho ,. So sỏnh với .
Gợi ý: Đặt 
Ta cú (1)
Lại cú 
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đú: 
Bài 46: Cho cỏc số dương x, y, z. Chứng minh rằng : 
Gợi ý: * Vỡ x, y, z > 0 và 
	Nờn: , 
	Suy ra: 
	* Vỡ x, y , z vai trũ như nhau, giả sử: , ta cú 
	Suy ra: và 
	Từ (1), (2), suy ra đpcm.
Bài 46: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giỏc vuụng với c là số đo cạnh huyền. Chứng minh rằng: , n là số tự nhiờn lớn hơn 0.
Gợi ý: (1)
 	- Với n = 1, theo định lí Py - ta - go: a2 + b2 = c2, đỳng.
 	- Giả sử đúng với n = k, ta có a2k + b2k c2k 
- Ta chứng minh (1) đỳng với n = k + 1. Thật vậy, với n = k + 1, ta cú: 
 a2(k+1) + b2(k+1) = =(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c2kc2 = c2(k+1) 
 	 Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1
 	Do đó ta có a2n + b2n c2n, n là số tự nhiên lớn hơn 0. 
--------------------------------------------------------------------------------
 B. Phần hỡnh học
Bài toỏn 41. Tớnh của tam giỏc ABC cõn tại A biết đường thẳng d đi qua đỉnh A và chai tam giỏc ABC thành hai tam giỏc cõn.
Bài toỏn 42. Cho ABC vuụng cõn tại A, trung tuyến AM. Lấy E BC. BH, CK AE (H, K AE). Chứng minh rằng MHK vuụng cõn.
Bài toỏn 43. Cho ABC cú gúc ABC = 50; gúc BAC = 70. Phõn giỏc trong gúc ACB cắt AB tại M. Trờn MC lấy điểm N sao cho gúc MBN = 40. Chứng minh rằng : BN = MC.
Bài toỏn 44. Cho ABC. Vẽ ra phớa ngoài của tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn ở A là ABE và ACF. Vẽ AH BC. Đường thẳng AH cắt EF tại O. Chứng minh rằng  O là trung điểm của EF.
Bài toỏn 45. Cho ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trờn cạnh BC vẽ cỏc đường thẳng song song với AB, AC chỳng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng :
 a. ABC = MDE
 b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cựng đi qua một điểm.
Bài toỏn 46. Cho ABC vuụng tại A. Trờn cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA ; 
CN = CA. Tớnh .
Bài toỏn 47. Cho ABC cú = 90(AB < AC), phõn giỏc AD. Từ D vẽ một đường thẳng vuụng gúc với BC cắt AC tại M. Tớnh .
Bài toỏn 48. ABC cú = 75 ; = 60. Kộo dài BC một đoạn thẳng CD sao cho CD = BC. Tớnh .
Bài toỏn 49. Cho ABC cõn, = 80. Trờn cạnh BC lấy điểm I sao cho = 50 ; trờn cạnh AC lấy điểm K sao cho . Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng  HIK cõn.
Bài toỏn 50. Cho ABC cõn tại A. Gọi M là một điểm nằm trờn cạnh BC sao cho MB < MC. Lấy điểm O trờn đoạn thẳng AM. Chứng minh rằng .
Bài toỏn 51. Cho xOy. Trờn hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt cỏc điểm A và B sao cho OA + OB = 2a. Xỏc định vị trớ của A và B để cho AB đạt min.
Bài toỏn 52. Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm giữa M và N. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ cỏc tam giỏc cõn đỉnh O là OMA và OMB sao cho gúc ở đỉnh O bằng 45. Tỡm vị trớ của O để AB min. Tớnh độ dài nhỏ nhất đú.
Bài toỏn 53. Cho ABC cõn tại A cú = 100, tia phõn giỏc của gúc B cắt AC tại D. Chứng minh rằng BC = BD + AD.
Bài toỏn 54. Cho ABC vuụng tại cú AC = 3AB. Trờn AC lấy cỏc điểm D và E sao cho AD = DE = 
EC. Chứng minh rằng AEB + ACB = 45.
Bài toỏn 55. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, Â = 30, BC = 2cm. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho 
CBD = 60. Tớnh độ dài AD.
Bài toỏn 56. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, = 75. Kẻ CH vuụng gúc với AB. Chứng minh rằng 
CH = .
Bài toỏn 57. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại B và tồn tại một điểm M nằm trong tam giỏc sao cho
MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tớnh .
Bài toỏn 58. Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỏa món điều kiện a2 + b2 > 5c2 thỡ c là cạnh nhỏ nhất.
Bài toỏn 59. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn trung tuyến BD lấy E sao cho cho DAE = ABD. Chứng minh rằng: .
Bài toỏn 60. Cho ABC cú BAC = 40 , ABC = 60. Gọi D và E là cỏc điểm tương ứng trờn AC và 
AB sao cho CBD = 40; BCE = 70 . Giả sử BD cắt CE tại F. Chứng minh rằng: AF BC.
Bài toỏn 61. Cho tam giỏc ABC, trung tuyến AM, phõn giỏc AN. Từ N vẽ đường thẳng vuụng gúc với AN cắt AB, AM tại hai điểm P và Q. Từ Q vẽ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt AN tại O.
Chứng minh rằng QO BC.
Bài toỏn 62. Cho ABC. Trung tuyến BM và đường phõn giỏc CD cắt nhau tại I thỏa món IB = IC.
Từ A kẻ AH BC. Chứng minh rằng IM = IH.
Bài toỏn 63. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M là trung điểm của BC, G là điểm trờn cạnh AB sao cho GB = 2GA. Cỏc đường thẳng GM và CA cắt nhau tại D. Đường thẳng qua M vuụng gúc với CG tại E và cắt AC tại K. Gọi P là giao điểm của DE và GK. Chứng minh rằng:
DE = BC
PG = PE.
Bài toỏn 64. Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Giả sử D là điểm nằm bờn trong tam giỏc sao cho 
tam giỏc ABD cõn và ADB = 150o. Trờn nửa mặt phẳng khụng chứa D cú bờ là đường thẳng AC lấy điểm E sao cho tam giỏc ACE đều. Chứng minh 3 điểm B, D, E thẳng hàng.
Bài toỏn 65. Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến BM và đường phõn giỏc CD cắt nhau tại J thỏa món điều kiện JB = JC. Từ A kẻ AH vuụng gúc với cạnh BC. Chứng minh rằng JM = JH.
Bài toỏn 66. Cho tam giỏc ABC cú đường trung tuyến AM, AB = 6cm, AC = 8cm, và AM = cm.
Tớnh số đo gúc BAC
Tớnh BC
Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. 
Bài toỏn 67. Cho tam giỏc ABC cú gúc BAC bằng 105o, đường phõn giacstrong CD và đường trung tuyến BM cắt nhau tại K thỏa món KB = KC. Gọi H là chõn đường cao hạ từ A của tam giỏc ABC.
Chứng minh rằng HA = HB
Tớnh gúc ABC và gúc ACB.’
Bài toỏn 68. Cho tam giỏc ABC cõn. Trờn cạnh đỏy BC lấy điểm D sao cho CD = 2BD. So sỏnh số đo hai gúc BAC và CAD.
 Bài toỏn 69. Gọi P là trung điểm cạnh BC của tam giỏc ABC và BE, CF là hai đường cao. Đường 
thẳng qua A, vuụng gúc với PE, cắt đường thẳng BE tại N. Gọi K và G lần lượt là trung điểm của 
BM và CN. Gọi H là giao điểm của đường thẳng KF là GE. CMR: AH EF.
Bài toỏn 70. Cho DEF vuụng tại D, cú EK là phõn giỏc. Kẻ KM EF, kộo dài KM cắt đường thẳng DE tại I. Chứng minh:
a/ DK = KM ; DE = EM.
b/ EK IF.
c/ Nếu cho M là trung điểm của EF. Chứng minh: .
 ------------------------------ Hết -------------------------------