Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS năm học 2008 - 2009 môn Toán

 Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ 
 kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs
năm học 2008-2009
đề chính thức
môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có một trang
câu 1 (2 điểm) 
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
câu 2 (2 điểm)
Giải phương trình .
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức 
.
câu 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì 
 b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
câu 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
câu 5 (2,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. 
	a) Chứng minh E là trung điểm của AH.
	b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO.
Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ 
Hướng dẫn chấm thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THcs
năm học 2008-2009
môn Toán
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 4 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
ã Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
ã Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
ã Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm
câu 1 (2 điểm) 
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
.
Đáp án
biểu điểm
Phương trình đã cho tương đương với
.
0,25 điểm
Không mất tính tổng quát, giả sử (*)
0,25 điểm
- Nếu thì (loại).
0,25 điểm
- Nếu thì phương trình đã cho trở thành
.
 Hay .
0,25 điểm
 Do (*) nên chỉ có trường hợp 2x - 1 = 5 và 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 1
0,25 điểm
- Nếu thì phương trình đã cho trở thành
 .
0,25 điểm
 Do (*) nên chỉ có trường hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2.
0,25 điểm
Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3).
0,25 điểm
CÂU 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức 
.
Đáp án
biểu điểm
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
 Nghiệm của phương trình: 
0,25 điểm
b) Ta có 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
 = 1
0,25 điểm
CÂU 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì 
 b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Đáp án
biểu điểm
a) (1,25 điểm). Ta cú
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
 (Do giả thiết x + y + z 0 )
0,25 điểm
Suy ra và do đó 
0,25 điểm
 b) Từ và giả thiết suy ra .
0,25 điểm
Do đó 
0,25 điểm
áp dụng BĐT với a, b không âm, đấu đẳng thức có khi a = b, ta có.
Kết luận: , đạt được khi .
0,25 điểm
câu 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Đáp án
biểu điểm
b) Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0).
 m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1).
 m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2).
0,50 điểm
 m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại
 và . 
0,25 điểm
Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có
.
0,50 điểm
Suy ra (3).
Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là , đạt được khi và chỉ khi m =.
Kết luận: m =.
0,25 điểm
CÂU 5 (2,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. 
	a) Chứng minh E là trung điểm của AH.
	b) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO. 
Đáp án
biểu điểm
a) Ta có AH // PB (vì AH, PB cùng vuông góc với BC) (1)
0,25 điểm
Lại có AC // PO (vì AC, PO cùng vuông góc với AB) nên hai tam giác vuông AHC và PBO đồng dạng (2)
0,50 điểm
Mà CB = 2.BO nên AH = 2. EH hay E là trung điểm của AH.
0,25 điểm
b) Ta có AH2 = HB. HC = (2R – HC)HC 
0,25 điểm
=
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Mà nên 
0,25 điểm
Hết