Tuyển tập 200 bài tập bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 - Cao Văn Tú

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 1 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 
Cể LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015 
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của cỏc bạn học sinh khối trường THPT (đặc 
biệt là khối 12). 
- Biờn soạn theo cấu trỳc cõu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của 
Bộ GD&ĐT. 
- Tài liệu do tập thể tỏc giả biờn soạn: 
1. Cao Văn Tỳ – CN.Mảng Toỏn – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thỏi 
Nguyờn (Chủ biờn) 
2. Cụ Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thỏi Nguyờn(Đồng chủ biờn). 
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn). 
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toỏn – Trường ĐHSP Thỏi Nguyờn. 
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thỏi 
Nguyờn. 
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toỏn – Trường ĐH SP Thỏi Nguyờn. 
7. Ngụ Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thỏi Nguyờn. 
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiờm cấm sao chộp dưới mọi hỡnh thức. 
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biờn soạn mà tự động post tài liệu thỡ đều 
được coi là vi phạm nội quy của nhúm. 
- Tài liệu đó được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2. 
 Tuy nhúm Biờn soạn đó cố gắng hết sức nhưng cũng khụng thể trỏnh khỏi sự 
sai xút nhất định. 
Rất mong cỏc bạn cú thể phản hồi những chỗ sai xút về địa chỉ email: 
caotua5lg3@gmail.com ! 
Xin chõn thành cỏm ơn!!! 
Chỳc cỏc bạn học tập và ụn thi thật tốt!!! 
Thỏi Nguyờn, thỏng 07 năm 2014 
Trưởng nhúm Biờn soạn 
 Cao Văn Tỳ 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 2 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Giải 
 Vận dụng bất đẳng thức 
1 1 1 1
( )
4x y x y
 

 ta cú: 
1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2a b b c a a b b c a a b c
  
        
1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2b c c a b b c c a b b c a
  
        
1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2c a a b c c a a b c c a b
  
        
 Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức trờn và rỳt gọn ta cú bất đẳng thức (5) 
 Đẳng thức xảy ra khi:
3 2
3 2
3 2
a b b c a
b c c a b a b c
c a a b c
   

      
    
Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh: 
1 1 1 1 1 1 1
( )
2a b b c c a a b c
    
  
 (2) 
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. 
Giải 
 Áp dụng 
1 1 1 1
( )
4x y x y
 

ta cú ngay điều phải chứng minh. 
 Phỏt triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: 
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 2a b c b c a c a b a b b c c a
    
        
 (3) 
 Kết hợp (2) và (3) ta cú: 
Bài 3: Với a, b, c là cỏc số dương: 
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c
    
     
 (4) 
Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương: 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3a b c b c a c a b a b b c c a
    
        
 (5) 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 3 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. 
Giải 
 Với a, b, c là cỏc số dương thỏa món 
1 1 1
4
a b c
   . Chứng minh rằng: 
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c
    
     
►Thực chất là từ (4) thờm giả thiết: 
1 1 1
4
a b c
   
Bài 4: Hóy xỏc định dạng của tam giỏc ABC nếu cỏc gúc của nú luụn thỏa món đẳng 
thức sau: 
tan tan tan
12 2 2
1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan 4.tan .tan .tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B A B C
  
  
Giải 
 Đặt tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z   thỡ x, y, z dương và xy + yz + zx=1 
Hệ thức trở thành: 
1
1 1 1 4
x y z
yz zx xy xyz
  
  
 Ta cú: 
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1 1 1
4 4 4
x y z
yz zx xy
x y z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x x y y z z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x z x y y z xy yz zx
xy yz zx yz xy zx x y z x
  
  
   
        
     
           
          
       
         
     
1
4yz xyz

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay ABC đều. 
Bài 5: Cho x, y, z là cỏc số thực thỏa món điều kiện: 
 0, 1 0, 1 0, 4 0x y z x y z         . Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
1 1 4
x y z
Q
x y z
  
  
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 4 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Giải 
 Đặt 1 0, 1 0, 4 0a x b y c z         . 
 Ta cú: 6a b c   và 
1 1 4 1 1 4
3
a b c
Q
a b c a b c
    
       
 
 Theo bất đẳng thức (1) ta cú: 
1 1 4 4 4 16 8
( )
3
8 1
3
3 3
a b c a b c a b c
Q
     
  
   
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 
3 1
2 2
3 16
a b
a b x y
a b c
c za b c
  
     
     
        
Vậy: 
1
3
MaxQ  đạt được khi 
1
2
1
x y
z

 

  
. 
Bài 6: Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1
6 4 6 4 6 4 4 4 4
x y z
x y y z z x x y z
    
  
 Với x, y, z là cỏc số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ? 
Giải 
  
22 11 1 1 4
4 4 6 4 6 4 6 4
xx x
x y x y x y x y

    
 
. 
Tương tự ta cú: 
1 1 4 1 1 4
;
4 4 6 4 4 4 6 4
y z
y z y z z x z x
   
 
. 
Cộng từng vế bất đẳng thức trờn ta cú bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
và chỉ khi x = y = z = 1. 
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả: ab bc ca abc   . Chứng minh rằng: 
     
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
  
  
  
Giải 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 5 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
 Ta cú: ab bc ca abc  
1 1 1
1
a b c
    . Đặt 
1 1 1
; ;x y z
a b c
    x+y+z=1. 
Khi đú ta cú: 
     
 
  
   
 
  
1 1 2
3 3
4 4 4 4 6 64 4
3 33 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 21 1 1
3 3
2
2 2
3 3 4 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y
a b x y x yx y
x yab a b x x y y x y x y x y
xy x y
x y
x y x y x y x y
x yx y x x y y x y x y x y
 
 
 
 

 
    
    

  
     
    
Tương tự ta cú: 
   
4 4 4 4
3 3 3 3
; 
2 2
y z z xb c c a
bc b c ca c a
 

 

 
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trờn ta cú: 
     
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
x y z
ab a b bc b c ca c a
  
     
  
. 
Suy ra điều phải chứng minh 
Bài 8: Với x, y, z, t là cỏc số dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
   
   
   
Giải 
 Ta cú: 
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4
1 1 1 1
4 ( ) ( ) 4
4 4 4( )
( ) ( ) 4 4 0
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
x y t z y x z t
x y t z
t y y z z x x t t y z x y z x t
x y z t
x y t z
x y z t x y z t z y z t
   
         
   
      
                         
  
       
        
 Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t. 
Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng:  
1 1 1 1 1
( ) 6
9x y z x y z
  
 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z  
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 6 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Giải 
 Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si cho ba số dương ta cú: 
 yx + z 3 xyz ; 
1 1 1 1 1 1 3
3 . .
x y z x y z xyz
    
 Từ đú: ( )x y z 
1 1 1 1 1 1 1 1
9
9x y z x y z x y z
   
         
    
 Đẳng thức xảy ra khi x y z  . 
Bài 10: Cho ba số a, b, c bất kỡ và x, y, z là ba số thực dương ta cú: 
 
 
22 2 2
7
a b ca b c
x y z x y z
 
  
 
. (Bất đẳng thức sơ-vac). 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
a b c
x y z
  . 
Giải 
 Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta cú: 
       
 
22 22 2 2 2 2 2
2
.
a b c a b c
x y z x y z
x y z x y z
a b c
                                    
  
Từ đú suy ra điều phải chứng minh. 
Bài 11: Chứng minh rằng: 
2 2 2a b c
a b c
b c a
     với a, b, c là cỏc số thực dương. 
Giải 
 Áp dụng bất đẳng thức (7) ta cú: 
 
22 2 2 a b ca b c
a b c
b c a a b c
 
     
 
. Suy ra điều phải chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
a b c
a b c
b c a
     
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 7 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Bài 12: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c
B
b c c a a b
  
  
 Trong đú a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món: 1a b c   
Giải 
 Áp dụng bất đẳng thức (7) ta cú: 
 
 
2
3 3 36 6 6 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 22
a b ca b c a b c
B
b c c a a b a b c
   
    
    
. Mặt khỏc theo bất đẳng 
thức Bunhiacovski ta cú: 
     
      
224 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 3 3
1
9 9
9
a b c a b c aa a bb b cc c
a b c a b c a b c a b c
             
           
. 
Vậy 
1
18
B  
Bài 13: Cho cỏc số thực dương x, y, z, t thỏa món xyzt=1. Chứng minh rằng : 
       3 3 3 3
1 1 1 1 4
3x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
   
       
Giải 
 Đặt 
1 1 1 1
; ; ; y z t=x
a b c d
   , theo bài ra ta cú abcd = 1 và 
 
2
3
3
1 1
1 1 1 1
a
x yz zt ty b c d
a bc dc bd
 
    
   
 ; tương tự ta cú : 
     
2 2 2
3 3 3
1 1 1
; ; 
b c d
y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c
  
           
Cộng cỏc vế bất đẳng thức trờn ta cú: 
       
 
 
3 3 3 3
22 2 2 2
4
1 1 1 1
3
4 4
3 3 3
x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
a b c da b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
a b c d abcd
  
       
  
    
          
  
  
 (Mở rộng tự nhiờn bất đẳng thức (7) cho bốn số) 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 8 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Dấu bằng xảy ra khi 
1a b c d
a b c d
b c d a c d a b d a b c
   


  
       
Bài 14: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
     
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
B
b c a c b a
  
  
 Trong đú a, b, c là cỏc số thực dương thỏa điều kiện 1ab bc ca   
Giải 
 Áp dụng bất đẳng thức (7) ta cú: 
     
 
     
 
   
2
4 4 48 8 8
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 2 22 2
a b ca b c
B
b c a c b a b c a c b a
a b c
a b c a b b c a c
 
   
       
 

    
Xột biểu thức 2 2 2 2 2 2a b b c a c  . Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta cú : 
2 2 2 2 2 2 4 4 4a b b c a c a b c     . Do đú: 
 
   
 
 
2 2
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 42 2 4
a b c a b c a b c
B
a b c a b c a b c
     
  
      
. 
Mặt khỏc cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski  
2 4 4 41 ab bc ca a b c      . 
Bài 15: Cho x,y, z > 0 và thoả:
2 2 2 1
3
x y z   . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
33 3
2 3 5 2 3 5 2 3 5
yx z
x y z y z x z x y
 
     
Giải 
 Cỏc số x, y, z cú vai trũ bỡnh đẳng. Dự đoỏn dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chỳng bằng 
nhau và bằng 
1
3
. 
Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta cú : 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 9 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
 
   
 
   
 
 
3 3 3 4 4 4
2 2 22 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 8 2 8 10
12 2 2
30
x y z x y z
x y z y z x z x y x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z x y z
x y z xy yz zx x y z x y z x y z
x y z
    
           
     
  
           
   
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
2 2 2
2 2 22 3 5 2 3 5 2 3 5
1
3
12 2 2
3
x y z
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z
x y z









 
     
     
  
. 
Bài 16: Cho a, b, c > 0 và thoả: a.b.c = 1 
 Chứng minh rằng: 
     
2 2 2
3
3 3 3a b c b c a c a b
  
  
Giải 
 Nhận xột: -Cỏc số x, y, z cú vai trũ bỡnh đẳng. Dự đoỏn dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
chỳng bằng nhau và bằng 1. 
 - Để đơn giản biểu thức ta cú thể đặt 
1 1 1
; ; b c . a
x y z
   
Đặt 
1 1 1
; ; b c . a
x y z
   Theo giả thiết ta cú: xyz = 1 
Ta cú 
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
x
a b c y z
x y z
 
 
 
 
 

; tương tự ta cú: 
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
y
b a c x z
y x z
 
 
 
 
 

; 
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
z
c b a y x
z y x
 
 
 
 
 

. 
Do đú Áp dụng bất đẳng thức (7) ta cú : 
     
 
 
 
22 2
22 2
22 2 2 2 2
2
2 2 33 3
2 2
yx z
y z x z y xb c aa b c c a b
x y z x y z
xyz
x y z
     
   
   
  
 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 10 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1x y z   
Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả: 3x y z   . Tỡm GTNN của biểu thức: 
 A = 
22 2yx z
x yz y zx z xy
 
  
Giải 
 Áp dụng bất đẳng thức (6) ta cú : 
 
222 2 x y zyx z
x yz y zx z xy x y z yz zx xy
 
  
       
.Ta cú
yz zx xy x y z     . 
Do đú 
 
222 2 3
2 2
x y zy x y zx z
x y z x y zx yz y zx z xy
   
    
      
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
3
1
x y z
x y z x y z
x y z
x yz y zx z xy


  

     

  
   
Bài 18: Với x, y, z là cỏc số dương và . . 1x y z  
 Chứng minh rằng: 3
2
x y z
x yz y zx z xy
  
  
 (1) 
Giải 
 Đặt , ,a x b y c z   
Bài toỏn trở thành: a, b, c là số dương và . . 1abc 
 Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
3
2
a b c
a bc b ac c ab
  
  
 (2) 
Áp dụng bất đẳng thức trờn ta cú 
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
a b ca b c
a bc b ac c ab a bc b ac c ab
 
  
       
Bỡnh phương hai vế bất đẳng thức: 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 11 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
   
   
   
 
 
22 4
2
22 2 2
2 2 2
4 4
22 2 2
4
2
(3)
3( ) 3 3
3 3
a b c a b c
VT
a bc b ac c ab a bc b ac c ab
a b c a b c
a b c ab bc ac a b c ab bc ac
a b c
a b c
    
  
             
 
   
 
          
 
 

   
 
( Vỡ  
2
33 3ab bc ac abc    ) 
Đặt  
2
t a b c   thỡ 9t  ( vỡ 33 3a b c abc    ) 
Ta cú: 
2 3 15 3 3 3.9 15 3 3 9
2 .
3( 3) 12 12 3 12 12 3 2
t t t t
t t t
   
     
  
 2
9 3
(5') (4')
2 2
VT VT    
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1điều phải chứng minh 
Tổng quỏt: Ta cú bài toỏn sau: với  1 2, ,..., 2nx x x n  là số dương và 1 2. ... 1nx x x  
Chứng minh rằng: 1 2
1 2 3 2 3 4 1 2 1
...
2. ... . ... . ...
n
n n n n
xx x n
x x x x x x x x x x x x

   
  
Bài 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món abc ab bc ca   thỡ 
3
16
1 1 1
2 3 2 3 2 3a b c b c a c a b
 
     
Giải 
Từ abc ab bc ca   suy ra 
1 1 1
1
a b c
   . 
đặt 
1 1 1
; ; y z x
a b c
   thỡ 1x y z   . Áp dụng bất đẳng thức (6) ta cú : 
1 2 3 36 1 2 3
2 3
2 3 2 3 36
x y z
a b c
x y z x y z a b c
 
       
   
Tương tự ta cũng cú: 
2 3 2 3
; ;
36 36
1 1
2 3 2 3
y z x z x y
b c a c a b
   
 
   
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 12 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Cộng ba bất đẳng thức trờn ta cú: 
 6 1 3
36 6 16
1 1 1
2 3 2 3 2 3
x y z
a b c b c a c a b
 
   
     
Cỏch 2:
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3
.
2 3 9 9 4a b c a c b c b c a c b c b c a b c
   
         
            
Tương tự ta cú: 
     
     
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
. ;
2 3 9 9 4
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
.
2 3 9 9 4
b c a a c a c b a a c a c b a a b c
c a b b c b a b a b c a b b a b c a
   
         
            
   
         
            
cộng vế với vế ta cú: 
1 1 1 1 6 6 6 3
2 3 2 3 2 3 36 16a b c b c a c a b a b c
 
      
       
suy ra điều phải chứng minh. 
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3. 
Bài 20: Cho  , , 0 1x y zx y z   . Chứng minh rằng: 2 2 2
9
1 1 1 10
x y z
P
x y z
   
  
Giải 
 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2 2
22 2 24 4 4
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
1 1
x y z
P x y z
x y z
x y z
x y z
x y zx y z
x x y y z z x y z x y z
    
                
 
     
   
  
      
        
Đặt 
2 2 2t x y z   từ điều kiện 
1
3
t  
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và Cụsi ta cú: 
  
 
3 3 3 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 3 1
1 3
2 3 2 2 3
x y z x y z x y z xy yz zx xyz
x y z t
x y z x y z t t
           
  
             
 
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 13 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
2 2 2
2
2
2
2 2 3 10 3 9 9
1 1
3 10 3 10 10
3 11 3 3
33
1
( )(57 9)
9 93
3 10 3 10 10
t t t t
P
t t tt t tt t
t t
P
t t
  
       
    
 
  
 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
3
 đpcm. 
Bài 21: Cho x, y, z là cỏc số thực dương thay đổi và thoả món điều kiện: xyz = 1. Tỡm 
GTNN của biểu thức: P = 
     2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
y y z z z z x x x x y y
  
 
  
Giải 
     2 2 2 2 222 22
2 2 2 2 2 2
22 2
2 2 2
x y z y z x z x y x yz z xyy xz
P
y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y
y yx x z z
y y z z z z x x x x y y
  
     
     
  
  
 Đặt ; ; ; b c a x x y y z z   
Ta cú 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3
2 4
3 3
a b ca b c a b c
P
b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a b c
ab bc ca
 
      
       
        
  
     
 
 
 
Mặt khỏc ta cú 2 2 2a b c ab bc ca     . Nờn ta cú: 
2P . dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c  . Hay x=y=z=1 x x y y z z   
Bài 22: Cho a, b, c là các số d-ơng. Chứng minh rằng: 
2
3





 ba
c
ac
b
cb
a
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức cú lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 
 14 
Chủ biờn: Cao Văn Tỳ Email: caotua5lg3@gmail.com 
Giải 
 Ta có: 
2
3
2
9
2
9
)
111
)((
)(2
99111
































ba
c
ac
b
cb
a
ba
cba
ac
cba
cb
cba
baaccb
cba
cbabaaccbbaaccb
(Đpcm). 
Bài 23: Cho a,b,c>0 và 
3
2
a b c   . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
      
Giải 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
S
1 1 1 1 4
(1 4 )( ) (1. 4. ) ( )
17
a b c
b c a
a a a a
b b b b
     
       
Tương tự 
2 2
2 2
1 1 4 1 1 4
( ); ( )
17 17
b b c c
c c a a
      
Do đú: 
1 4 4 4 1 36
( ) ( )
17 17
1 9 135 3 17
( )
4( ) 4( ) 217
S a b c a b c
a b c a b c
a b c
a b c a b c
         
 
 
          
Bài 24: Cho x,y,z là ba số thực dương và 1x y z   . Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
y z x
      
Giải 
Tuyển tập