Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 năm học 2011 - 2012 môn: Toán

UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Thời gian: 14/02/2012
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A=
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ So sánh A và 
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x3 - 26x2 + 9x - 1
b/ Chứng minh rằng: với x, y 0
Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 
a/ Giải hệ phương trình với m = 1
b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có = 900, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh các hệ thức:
	a/ b/ DE3 = BD.CE.BC
Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho : AE + EF + FA = 2a.
a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
b/ Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích CEF lớn nhất
....................Hết .................
UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán
	(Bản hướng dẫn gồm 03 trang)	
Bài 
Nội dung
Điểm
1
4.0
1a
Điều kiện để A có nghĩa là x0, y 0 ; xy
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
1b
Vì x 0; yvà x¹y nên >0
0,5
Do đó : 0 A = hay 0 £ A<1
0,5
Ta có : A - Vậy A 
0,5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0 x=0 hoặc y = 0
0,5
2
4,0
2a
24x3-26x2+9x-1 = 24x3 - 12x2 -14x2 + 7x + 2x - 1 
0,5
 = 12x2(2x-1) - 7x(2x-1) + (2x-1) 
0,25
 = (2x - 1)(12x2 - 7x + 1)
0,25
 = (2x - 1)(12x2 - 4x - 3x + 1) 
0,25
 = (2x - 1)[4x(3x - 1) - (3x - 1)]
0,25
 = (2x - 1)(3x - 1)(4x - 1)
0,5
2b
Đặt A = 
Sử dụng (a - b)2 0 a2 + b2 2ab
0,5
C/m 
0,5
Tương tự 
0,5
Ta có: 2.A A 3 
Vậy BĐT được C/m, xảy ra dấu bằng "=" khi x = y
0,5
3
.
4,0
3a
Điều kiện: Đặt: Điều kiện 
0,5
Ta có hệ phương trình: 
0,5
Với m = 1 ta có
0,5
Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là 
0,5
3b
Từ (1) . Thế vào (2) ta có:
1,0
Để hệ có nghiệm thì 
0,5
Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm
0,5
4
4,0
4a
 Ta có: AB2 = BH.BC
0,5
 AC2 = CH.BC
0,5
 Þ 
0,5
4b
Ta có: AH2 = HB.HC
Þ AH4 = HB2.HC2 (1)
0,5
Trong tam giác vuông AHB có HB2 = BD.AB
Trong tam giác vuông AHC có HC2 = EC.AC
0,5
Thay HB2, HC2 vào (1) ta được 
 AH4 = BD.AB.EC.AC = BD.EC.BC.AH
 Þ AH3 = BD.EC.BC
0,75
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên các đường chéo AH = DE
 Suy ra DE3 = BD.EC.BC
0,75
5
4,0
5a
 Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF , Vẽ CH ^ EF , H Î EF .
0,5
D DFC = D BKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
CF = CK .
0,5
Vì EF = 2a – ( EA + FA )
 = ( AB + AD ) – ( EA + FA )
 = AB – EA + AD – FA 
	= EB + FD = EB + BK = EK.
Do đó D CEF = D CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau và bằng a
0,5
CH không đổi , C cố định , CH ^ EF Þ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định ( C, a).
0,5
5b
 D HCF = D DCF ( H = D = 900 ; CF chung; CH = CD = a ) 
Þ SHCF = SDCF .
Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó 
SHCF + SHCE = SDCF + SBCE
0,5
Þ SCEF = SCDFEB Þ SCEF = ( a2 – SAEF ) 
	SAEF ³ 0 Þ SCEF £ a2
0,5
Dấu “ =” xảy ra Û SAEF = 0 
Û E º B , F º A hoặc E º A , F º D .
0,5
Vậy E º B , F º A hoặc E º A , F º D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất . 
0,5
Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa phần đó.