Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên TP Hà Nội năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ NỘI 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
Năm học 2014 – 2015 
Môn thi : Toán 
Ngày thi : 24 tháng 6 năm 2014 
Thời gian làm bài: 150 phút 
 (Dành cho thí sinh thi chuyên Tin) 
Bài I (2,0 điểm) 
1) Giải phương trình 45 2 2 2 2 1 0.x x x     
2) Giải hệ phương trình 
 
2 2
2 1 3
6 9
x y y
x y xy
    

  
 . 
Bài II (2,5 điểm) 
1) Chứng minh nếu n là số nguyên dương thì    5 5 3 2 9 11n n n n n n   chia hết cho 21. 
2) Tìm các cặp số nguyên  ;x y thỏa mãn 2 25 2 2 2 4 0.x y xy x y      
3) Chứng minh trong 2014 số nguyên dương 1 2 3 2014, , ,...,a a a a thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1 2 2014
1 1 1
... 4
a a a
    luôn tìm được ít nhất 3 số bằng nhau. 
Bài III (1,5 điểm) 
Với ba số dương , ,x y z thỏa mãn 1,x y z   chứng minh 
2 2 21 1 1
6.
x y z
x yz y zx z xy
  
  
  
Bài IV (3,0 điểm) 
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  O , H là trung điểm của .BC M là 
điểm bất kì thuộc đoạn thẳng BH ( M khác B ). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho 
.CN BM Gọi I là trung điểm của .MN 
1) Chứng minh bốn điểm , , ,O M H I cùng thuộc một đường tròn. 
2) Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất. 
3) Khi điểm M thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác 
IAB không đổi. 
Bài V (1,0 điểm) 
Cho tập hợp A gồm 36 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 36. Chứng minh trong 25 phần tử bất 
kì của tập hợp A luôn tìm được 3 phần tử là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau. 
-------- Hết -------- 
Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh:  Số báo danh:  
Chữ kí của giám thị 1:... Chữ kí của giám thị 2:.... 
ĐỀ CHÍNH THỨC