Đề thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp huyện vòng I cấp THCS - Năm học 2015 - 2016 môn: Toán

 UBND HUYỆN THUẬN THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I 
CẤP THCS - NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi: 05/11/2015
Bài I: (4.5đ)
	Cho biểu thức: P = 
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài II: (6đ)
1. Tìm n nguyên dương để n2015 + n2014 +1 là số nguyên tố.
	2. Cho S = . Chứng minh rằng 
	3. Tìm x; y; z biết rằng: và x.y.z = 12
Bài III: (4đ)
	Cho hệ phương trình 
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x dương và y âm.
	2. Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x,y là các số nguyên.
Bài IV: (4đ)
	Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;2cm) tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại M, đường thẳng MD cắt (O) tại E (E khác D) và cắt AB tại F. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm các đoạn AB; DE. Tia OK cắt AB tại P; AK cắt đường tròn (O) tại N.
1. Chứng minh rằng: PA.PB = PF.PI.
	2. Tính diện tích tam giác MND.
Bài V: (1.5đ)
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x + 1 = 0	
	Họ và tên thí sinh: ..
	Số báo danh: .	Phòng thi: .	
PHÒNG GD&ĐT THUẬN THÀNH 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN GVDG CẤP HUYỆN VÒNG I 
CẤP THCS - NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán 
Bài
Hướng dẫn 
Điểm
Bài I
1.
2.
Bài II
1.
2.
3
Bài III
1.
2.
Bài IV
1.
2.
Bài V
Rút gọn P
Đkxđ: x>0; x1
P = = ==
= x--2 -1 +2 + 2 = x - + 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
P = x - + 1 = ( - )2 +
Suy ra P dấu bằng đạt được khi x = thoả mãn
Vậy min P = đạt khi x = 
1.Tìm n nguyên dương để n2015 + n2014 +1 là số nguyên tố.
Đặt P = n2015 + n2014 +1
- Với n=1 ta thấy P = 3 là số nguyên tố
- Xét n 2 ta có P > n2 + n + 1
Mặt khác n2015 – n2 = n2(n2013 -1) = n2[(n3)671 –(13)671] chia hết cho n3 -1 mà n3 -1 =(n-1) (n2 + n + 1)
(Áp dụng an - bn chia hết cho a-b)
Vậy n2015 – n2 chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: n2014 – 1 = n (n2013 -1) chia hết cho n2 + n + 1
Do đó P = n2015 + n2014 +1 = (n2015 – n2) + (n2014 – n) + n2 + n + 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy P có nhiều hơn 2 ước do đó P là hợp số
Vậy để P là số nguyên tố thì n = 1
2. Cho S = . Chứng minh rằng 
- Chứng minh: 
- Áp dụng ta có ; ; 
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta có
S > (1)
- Chứng minh tương tự ta có S < (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
3. Tìm x; y; z biết rằng: và x.y.z = 12
Đặt =k
Suy ra kx = 4-k; ky = 2+2k; kz = 3-2k
Nhân từng vế ta có
 k3 xyz =4k3 – 18k2 +2k + 24
hay 12 k3 = 4k3 – 18k2 +2k + 24
8k3 + 18k2 - 2k – 24 = 0
Giải phương trình ta có k = 1
Thay vào suy ra x = 3; y = 4; z = 1
1.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x dương và y âm.
- Chứng minh được hệ luôn có nghiệm duy nhất 
 với mọi m
-Từ x> 0 suy ra m>-4
-Từ y< 0 suy ra m< 
Từ trên suy ra giá trị m phải tìm là -4< m < 
2. Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x,y là các số nguyên.
-Theo trên hệ luôn có nghiệm duy nhất: 
 với mọi m
Ta có x nguyên m+4 chia hết cho m2+2 m2+2
y là số nguyên 2m -1 chia hết cho m2+2m2+2
Như vậy điều kiện của m là 
Xét m2+2 giải bất phương trình suy ra m = -1
Thay vào ta có x =1; y=-1 thoả mãn
1.Chứng minh rằng: PA.PB = PF.PI.
- Chứng minh PKF PIO
Suy ra PK.PO=PF.PI (1)
- Chứng minh PAK PKB.
Suy ra PK.PO = PA.PB (2)
Từ (1) và (2) suy ra PA.PB = PF.PI
2. Tính diện tích tam giác MND.
- Chứng minh tứ giác MAOB là hình vuông suy ra MB=BO 
- Chứng minh tam giác MDN vuông.
Chứng minh = = 
Chứng minh: + = + = 900 
Suy ra tam giác MDN vuông tại D
Tứ giác EBND là HCN suy ra EB = DN.
Tam giác MBD vuông tại B có BE là đường cao suy ra MD.BE = MB.BD
SMDN = MD.DN = DM.BE = BM.BD =4 cm2
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x + 1 = 0
Biến đổi phương trình về dạng:
(x2 +2)2 – 3(x-1)2 =0
(x2 - x +2 +)(x2 + x + 2 -) = 0
Giải các phương trình và kết luận nghiệm
3 điểm
0.25đ
1.5đ
1.25đ
1.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
6điểm
2đ
0.5đ
0.75đ
0.5đ
0.25đ
2 điểm
0.5đ
0.75đ
0.5đ
0.25đ
2 điểm
0.5đ
0.25đ
1đ
0.25đ
4 điểm
2.5điểm
1đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
1.5điểm
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
2 điểm
0.75đ
0.75đ
0.5đ
2 điểm
0.75đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
1.5điểm
0.75đ
0.75đ
Chú ý: - Không cho điểm vẽ hình, ghi GTKL
	- Không vẽ hình, hình vẽ sai không chấm bài
	- Bài giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
	- Điểm toàn bài không làm tròn