Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 7 môn: Toán năm học: 2016 – 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7
 HUYỆN THẠCH THÀNH	 MÔN: TOÁN
 ĐỀ CHÍNH THỨC	 NĂM HỌC: 2016 – 2017
 (Đề thi gồm 01 trang)	 Ngày thi: 03/04/2017
	 Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề
Câu 1: (4,5 điểm).
	1. Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) A = 
	b) B = 
	2. Cho . Tính giá trị biểu thức: C = 
Câu 2: (4,5 điểm)
	1. Tìm các số x, y, z, biết: 
	a) và x + y + z = 92
	b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0
	2. Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6
Câu 3: (3,0 điểm)
	1. Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2
	2. Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a).
	a) Tìm a
	b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x)
Câu 4: (6,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng:
	a) BE = CD
	b) BDE là tam giác cân
	c) và IA là tia phân giác của 
Câu 5: (2,0 điểm)
	1. Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên.
	2. Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c.
ĐÁP ÁN
Câu 1: 1.
	a) A = = 
	 A = = = 
	b) B = = = 
	 B = 
	2. Đặt = k . Khi đó:
	 C = = = 8
Câu 2: 1.
	a) Ta có: 
	Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và x + y + z = 92, ta được:
	 = 
	b ) Ta có: (x – 1)2016 0 x
	 (2y – 1)2016 0 y
	 |x + 2y – z|2017 0 x, y, z
	 (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 0 x, y, z
	Mà (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0 nên dấu "=" xảy ra 
	2. Ta có: xy + 3x – y = 6 x(y + 3) – (y + 3) = 6 – 3 
	 (x – 1)(y + 3) = 3 = 1.3 = 3.1 = (– 1)(– 3) = (– 3)(– 1)
	Ta có bảng sau:
x – 1
1
3
– 1
– 3
y + 3
3
1
– 3
– 1
x
2
4
0
– 2
y
0
– 2
– 6
– 4
	Vậy: (x; y) = (2; 0) = (4; – 2) = (0; 6) = (– 2; – 4)
Câu 3:
	1. Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2
	 A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2)
	 A = x2 – 4xy + 4y2
	2. 
	a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên:
	a2 + a = a(a – 1) + 2 a2 + a = a2 – a + 2 2a = 2 a = 1
	b) Với a = 1 thì y = f(x) = x + 2
	Ta có: f(2x – 1) = f(1 – 2x) (2x – 1) + 2 = (1 – 2x) + 2 4x = 2 x = 
Câu 4:
GT
 ABC, = 900, ABD và ACE đều
I = BECD 
KL
a) BE = CD
b) BDE là tam giác cân
c) và IA là tia phân giác của 
	a) Ta có: 
	Xét DAC và BAE có: 
	DA = BA (GT)
	 (CM trên)
	AC = AE (GT)
	 DAC = BAE (c – g – c) BE = CD (Hai cạnh tương ứng)
	b) Ta có: 
	 = = 1500	
	Xét DAE và BAE có:
	DA = BA (GT)
	= (CM trên)
	AE: Cạnh chung
	 DAE = BAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng)
	BDE là tam giác cân tại E
	c) Ta có: DAC = BAE (CM câu a) = (Hai góc tương ứng)
	 Lại có: (Tổng 3 góc trong ICE)
	 (Vì = )
	Vì DAE = BAE (Cm câu b) = (Hai góc tương ứng) EA là tia phân giác của (1)
	Vì DAC = DAE = (Hai góc tương ứng) DA là tia phân giác của (2)
	Từ (1) và (2) A là giao điểm của 2 tia phân giác trong DIE IA là đường phân giác thứ ba trong DIE hay IA là tia phân giác của 
Câu 5: 
	1. Gọi x = (m, n Z, n 0, (m, n) = 1). Khi đó:
	x + (1)
	Để nguyên thì m2 + n2 mn 
	 m2 + n2 m 
	 n2 m (Vì m2 m)
	 n m
Mà (m, n) = 1 nên m = 1 hoặc m = – 1
*) Với m = 1: 
Từ (1), ta có: = . Để nguyên thì 1 + n2 n 1 n hay n = 1
*) Với m = – 1: 
Từ (1), ta có: = . Để nguyên thì 1 + n2 (– n) 1 (– n) hay n = 1
Khi đó x = hay x = 1
2. Ta có: a + 3c = 2016 (1) và a + 2b = 2017 (2)
Từ (1) a = 2016 – 3c
Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1 b = . Khi đó:
P = a + b + c = (2016 – 3c) + + c = . Vì a, b, c không âm nên P = , MaxP = c = 0