Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 - Đề 13

Thời gian làm bài : 120 phút.
Câu 1 : ( 3 điểm).
	1. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài là 4,12 ,a . Biết rằng a là một số tự nhiên. Tìm a ?
	2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ( a,b,c ,d¹ 0, a¹b, c¹d) ta suy ra được các tỉ lệ thức:
	a) .	b) .
Câu 2: ( 1 điểm).	Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0.
Câu 3: (2 điểm).
	Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| với a<b<c<d.
Câu 4: ( 2 điểm). Cho hình vẽ.
	a, Biết Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C.
	b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh Ax // Cy. 
x
A
B
y
C
Câu 5: (2 điểm) 
 Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------
Câu 1: Gọi x, y, z là độ dài 3 cạnh tương ứng với các đường cao bằng 4, 12, a. 
	Ta có: 4x = 12y = az = 2S
	Þ x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm)
	Do x-y < z< x+y nên
	 (0,5 điểm)
	Þ 3, a , 6 Do a Î N nên a=4 hoặc a= 5. (0,5 điểm)
2. a. Từ Þ (0,75 điểm)
b. Þ (0,75 điểm)
Câu 2: Vì tích của 4 số : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 là số âm nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm.
Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. Xét 2 trường hợp:
+ Có 1 số âm: x2 – 10 < x2 – 7 Þ x2 – 10 < 0 < x2 – 7
Þ 7< x2 < 10 Þ x2 =9 ( do x Î Z ) Þ x = ± 3. ( 0,5 điểm)
+ có 3 số âm; 1 số dương.
x2 – 4< 0< x2 – 1 Þ 1 < x2 < 4
do xÎ Z nên không tồn tại x.
Vậy x = ± 3 (0,5 điểm)
Câu 3: Trước tiên tìm GTNN B = |x-a| + | x-b| với a<b.
Ta có Min B = b – a ( 0,5 điểm)
Với A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d|
= [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|]
Ta có : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a khi a[x[d
Min [|x-c| + | x-b|] = c – b khi b[ x [ c ( 0,5 điểm)
Vậy A min = d-a + c – b khi b[ x [ c ( 0, 5 điểm)
Câu 4: ( 2 điểm)
A, Vẽ Bm // Ax sao cho Bm nằm trong góc ABC Þ Bm // Cy (0, 5 điểm)
Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC
Þ ABm + CBm = A + C tức là ABC = A + C ( 0, 5 điểm)
b. Vẽ tia Bm sao cho ABm và A là 2 góc so le trong và ABM = A Þ Ax// Bm (1)
CBm = C Þ Cy // Bm(2)
Từ (1) và (2) Þ Ax // By
Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có:
AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 Þ CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm)
Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 điểm)
Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm).
---------------------------------------------------------------