Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn Toán khối 8

Trường em  
1 
 Phũng GD- ĐT Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 
 Can Lộc Mụn: Toỏn lớp 8 
Thời gian làm bài 120 phỳt 
Bài 1. Cho biểu thức: A = 
5 2
3 2
x x
x x x
+
− +
a) Rỳt gọn biểu thức A 
b) Tỡm x để A - 0A = 
c) Tỡm x để A đạt giỏ trị nhỏ nhất. 
Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab 
 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P = 3
2
a b
a b
−
+
 b) Cho a, b, c là Độ dài 3 cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng a2 + 2bc > b2 + c2 
Bài 3: Giải cỏc phương trỡnh: 
a) 2 11
2007 2008 2009
x x x− −
− = − 
b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3 
Bài 4: Cho tam giỏc ABC; điểm P nằm trong tam giỏc sao cho 
 
ABP ACP= , kẻ PH ,AB PK AC⊥ ⊥ . 
Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh. 
a) BP.KP = CP.HP 
b) DK = DH 
Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt cỏc cạnh AB, AD Tại M và K, cắt đường chộo 
AC Tại G. Chứng minh rằng: AB AD AC
AM AK AG
+ = 
Trường em  
2 
 UBND Thành phố Huế Kỡ thi chọn Học sinh giỏi thành phố Huế 
 Phũng giỏo dục & đào tạo Lớp 8 THCS - Năm học 2007 - 2008 
 Mụn : Toỏn 
 Đề chớnh thức Thời gian làm bài: 120 phỳt 
Bài 1: (2 điểm) 
Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: 
1. 2 7 6x x+ + 
2. 4 22008 2007 2008x x x+ + + 
Bài 2: (2Điểm) 
Giải phương trỡnh: 
1. 2 3 2 1 0x x x− + + − = 
2. ( )
2 2 2
22 2
2 2
1 1 1 18 4 4 4x x x x x
x x x x
      
+ + + − + + = +      
      
Bài 3: (2 điểm) 
1. Căn bậc hai của 64 cú thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4= + 
Hỏi cú tồn tại hay khụng cỏc số cú hai chữ số cú thể viết căn bậc hai của chỳng dưới dạng như 
trờn và là một số nguyờn? 
2. Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 8 2008x x x x+ + + + + cho đa thức 
2 10 21x x+ + . 
Bài 4: (4 điểm) 
Cho tam giỏc ABC vuụng Tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC). Trờn tia HC lấy điểm D sao 
cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC Tại D cắt AC Tại E. 
1. Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh Độ dài Đoạn BE theo m AB= . 
2. Gọi M là trung điểm của Đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. 
Tớnh số đo của gúc AHM 
3. Tia AM cắt BC Tại G. Chứng minh: GB HD
BC AH HC
=
+
. 
HếT 
Trường em  
3 
Phũng Giỏo dục - Đào tạo 
TRỰC NINH 
***** 
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện 
Năm học 2008 - 2009 
Mụn: Toỏn8 
(Thời gian làm bài: 120 phỳt, Khụng kể thời gian giao đề) 
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 






++
+
−−
= 222222 2
11
:
y
4xyA
xxyyxyx
 a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. 
 b) Rỳt gọn A. 
 c) Nờu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc 
giỏ trị nguyờn dương của A? 
Bài 2 (4 điểm): 
a) Giải phương trỡnh : 
82
44
93
33
104
22
115
11 +
+
+
=
+
+
+ xxxx
b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : 
 x
2
 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 2010200920092009 3=++ zyx 
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N∈ thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. 
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một 
đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. 
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 
EAD ECB= 
 b) Cho 
 0120BMC = và 236AEDS cm= . Tớnh SEBC? 
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng 
đổi. 
 d) Kẻ DH BC⊥ ( )H BC∈ . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng 
minh CQ PD⊥ . 
Bài 5 (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2≥+
x
y
y
x
 (với x và y cựng dấu) 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
2 2
2 2 3 5
x y x y
y x y x
 
+ − + + 
 
 (với x 0, y 0≠ ≠ ) 
Trường em  
4 
Đề khao sỏt chất lượng học sinh giỏi 
Bài 1: (4 điểm) 
 1, Cho ba số a, b, c thỏa mãn 
+ + =

+ + =
2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, Tớnh = + +4 4 4A a b c . 
 2, Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 3+ + = . Tỡm giỏ trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . 
Bài 2: (2 điểm) 
 Cho đa thức ( ) = + +2f x x px q với ∈ ∈p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyờn để 
 ( ) ( ) ( )=f k f 2008 .f 2009 . 
Bài 3: (4 điểm) 
 1, Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y thỏa mãn 3xy x 15y 44 0+ + − = . 
 2, Cho số tự nhiờn ( )= 20099a 2 , b là tổng cỏc chữ số của a, c là tổng cỏc chữ số của b, d là 
 tổng cỏc chữ số của c. Tớnh d. 
Bài 4: (3 điểm) 
 Cho phương trỡnh 2x m x 1 3
x 2 x 2
− −
+ =
− +
, Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương. 
Bài 5: (3 điểm) 
Cho hỡnh thoi ABCD cú cạnh bằng đường chộo AC, trờn tia đối của tia AD lấy điểm E, đường 
thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F, CE cắt à Tại O. Chứng minh AEC∆ đồng dạng CAF∆ , 
Tớnh 
EOF . 
Bài 6: (3 điểm) 
 Cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong gúc A cắt BC Tại D, trờn cỏc Đoạn thẳng DB, DC lần 
 lượt lấy cỏc điểm E và F sao cho 
 
EAD FAD= . Chứng minh rằng: =
2
2
BE BF AB
CE CF AC
 . 
Bài 7: (2 điểm) 
 Trờn bảng cú cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 2008, người ta làm như sau lấy ra hai số bất kỡ và thay 
bằng hiệu của chỳng, cứ làm như vậy đến khi cũn một số trờn bảng . Cú thể làm để trờn bảng chỉ cũn lại 
số 1 được khụng? Giải thớch. 
..........................................HếT........................................... 
Trường em  
5 
Mụn Toỏn (150 phỳt Khụng kể thời gian giao đề) 
Cõu 1(5điểm) Tỡm số tự nhiờn n để : 
a) A=n3-n2+n-1 là số nguyờn tố. 
b) B=
2
2623
2
234
+
−+++
n
nnnn
 cú giỏ trị là một số nguyờn . 
c) D=n5-n+2 là số chớnh phương . (n )2≥ 
Cõu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng : 
 a) 1
111
=
++
+
++
+
++ cac
c
bbc
b
aab
a
 biết abc=1 
 b) Với a+b+c=0 thỡ a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 
 c) 
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++≥++ 2
2
2
2
2
2
Cõu 3: (5 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau: 
 a) 6
82
54
84
132
86
214
=
−
+
−
+
− xxx
 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 
 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyờn dương. 
Cõu 4: (5 điểm).Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đường chộo. Qua O kẻ đường 
thẳng song song với AB cắt DA Tại E ,cắt BC Tại F. 
a) Chứng minh rằng : diện tớch tam giỏc AOD bằng diện tớch tam giỏc BOC. 
b) Chứng minh : 
EFCDAB
211
=+ 
c) Gọi K là điểm bất kỡ thuộc OE.Nờu cỏch dựng đường thẳng đi qua K và chia đụI diện tớch tam giỏc 
DEF. 
Mụn : Toỏn ( 120 phỳt Khụng kể thời gian giao đề) 
Bài 1: (1 đ) 
 Cho biết a-b=7 Tớnh giỏ trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab 
Bài 2: (1 đ) 
 Chứng minh rằng biểu thức sau luụn luụn dương (hoặc õm) với mọi giỏ trị của biến đó cho : 
 -a2+a-3 
Bài 3: (1 đ) 
 Chứng minh rằng Nờu một tứ giỏc cú tõm đối xứng thỡ tứ giỏc đó là hỡnh bỡnh hành. 
Bài 4: (2 đ) 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
584
2
2
−+− xx
Bài 5: (2 đ) 
 Chứng minh rằng cỏc số tự nhiờn cú dạng 2p+1 trong đó p là số nguyờn tố , chỉ cú một số là lập phương 
của một số tự nhiờn khỏc.Tỡm số đú. 
Bài 6: (2 đ) 
 Cho hỡnh thang ABCD cú đỏy lớn AD , đường chộo AC vuụng gúc với cạnh bờn CD, CADBAC =∠ 
.Tớnh AD Nờu chu vi của hỡnh thang bằng 20 cm và gúc D bằng 600. 
Bài 7: (2 đ) 
 Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: 
a) a3m+2a2m+am 
b) x8+x4+1 
Trường em  
6 
Bài 8: (3 đ) Tỡm số dư trong phộp chia của biểu thức : 
 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 
 C= 





+
−





−−+
−
− 1
21:
1
2
1
1
223 x
x
xxx
x
x
a) Tỡm điều kiện đối với x để biểu thức C được Xỏc định. 
b) Rỳt gọn C. 
c) Với giỏ trị nào của x thỡ biểu thức C được xỏc định. 
Bài 10 (3 đ) 
 Cho tam giỏc ABC vuụng Tại A (AC>AB) , đường cao AH. Trờn tia HC lấy HD =HA, đường vuụng 
gúc với BC Tại D cắt AC Tại E. 
a) Chứng minh AE=AB 
b) Gọi M trung điểm của BE . Tớnh gúc AHM. 
------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------------- 
ĐÁP ÁN 
Bài Nội dung điểm 
1.1 
Cho ba số a, b, c thỏa món 
+ + =

+ + =
2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, Tớnh = + +4 4 4A a b c . 
2,00 
 Ta cú ( ) ( ) ( )22 2 2a b c a b c 2 ab bc ca 2 ab bc ca+ + = + + − + + = − + + 
( ) ( )
2
2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 a b c 2009
a b b c c a ab bc ca 2abc a b c
2 4
 + +
+ + = + + − + + = = 
 
( ) ( ) 224 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2009A a b c a b c 2 a b b c c a
2
= + + = + + − + + = 
0,50 
0,50 
1,00 
1.2 Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 3+ + = . Tỡm giỏ trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . 2,00 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
 = + + = + − + + 
= + + − + = − − − + +
− − + + − −   
= − + + = − + + − + ≤   
   
2 2 2
2 22
2
B xy z x y xy 3 x y x y
xy 3 x y x y x y xy 3x 3y
y 3 3y 6y 9 y 3 3
x x y 1 3 3
2 4 2 4
Dấu = xảy ra khi 
y 1 0
y 3
x 0 x y z 1
2
x y z 0
− =

−
+ = ⇔ = = =

+ + =
Vậy giỏ trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1 
1,25 
0,50 
0,25 
2 Cho đa thức ( ) = + +2f x x px q với ∈ ∈p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyờn để 
 ( ) ( ) ( )=f k f 2008 .f 2009 . 
2,00 
Trường em  
7 
 ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
2
f f x x f x x p f x x q
f x 2.x.f x x p.f x p.x q
f x f x 2x p x px q
f x x px q 2x p 1
f x x 1 p x 1 q f x f x 1
   + = + + + +   
= + + + + +
 = + + + + + 
 = + + + + + 
 = + + + + = +
 
Với x = 2008 chọn ( )k f 2008 2008= + ∈
 
Suy ra ( ) ( ) ( )f k f 2008 .f 2009= 
1,25 
0,50 
0,25 
3.1 Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y thỏa món 3xy x 15y 44 0+ + − = . 2,00 
 ♦ ( )( )3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49+ + − = ⇔ + + = 
 ♦ x, y nguyờn dương do vậy x + 5, 3y + 1 nguyờn dương và lớn hơn 1. 
♦Thỏa món yờu cầu Bài Toỏn khi x + 5, 3y + 1 là ước lớn hơn 1 của 49 nờn cú: 
x 5 7 x 2
3y 1 7 y 2
+ = = 
⇔ 
+ = = 
Vậy phương trỡnh cú nghiệm nguyờn là x = y = 2. 
0,75 
0,50 
0,75 
3.2 Cho số tự nhiờn ( )= 20099a 2 , b là tổng cỏc chữ số của a, c là tổng cỏc chữ số của b, d là 
tổng cỏc chữ số của c. Tớnh d. 
2,00 
 ( ) ( ) ( )
( )
2009 3.2009 6027
9 3 3 6027a 2 2 2 10 b 9.6027 54243
c 5 4.9 41 d 4 1.9 13 1
= = = < ⇒ ≤ =
⇒ ≤ + = ⇒ ≤ + =
32 1mod9 a 1mod9≡ − ⇒ ≡ − mà ( )≡ ≡ ≡ ⇒ ≡ −a b c dmod9 d 1mod9 2 
Từ (1) và (2) suy ra d = 8. 
1,00 
0,75 
0,25 
4 Cho phương trỡnh 2x m x 1 3
x 2 x 2
− −
+ =
− +
, Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm dương. 3,00 
Điều kiện: x 2;x 2≠ ≠ − 
( )2x m x 1 3 ... x 1 m 2m 14
x 2 x 2
− −
+ = ⇔ ⇔ − = −
− +
m = 1phương trỡnh cú dạng 0 = -12 vụ nghiệm. 
m 1≠ phương trỡnh trở thành 2m 14x
1 m
−
=
−
Phương trỡnh cú nghiệm dương 
2m 14
2
1 m
m 42m 14
2
1 m 1 m 7
2m 14
0
1 m
− ≠
−

≠−
⇔ ≠ − ⇔ 
− < <
−
>
−
0,25 
0,75 
0,25 
0,50 
1,00 
Trường em  
8 
Vậy thỏa mãn yờu cầu Bài Toỏnkhi 
m 4
1 m 7
≠

< <
. 
0,25 
5 Cho hỡnh thoi ABCD cú cạnh bằng đường chộo AC, trờn tia đối của tia AD lấy điểm E, 
đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F. Chứng minh AEC∆ đồng dạng CAF∆ , Tớnh 

EOF . 
3,00 
O
D
B
A
C
E
F
♦ AEB∆ đồng dạng CBF∆ (g-g) 
2 2
AB AE.CF AC AE.CF
AE AC
AC CF
⇒ = ⇒ =
⇒ =
♦ AEC∆ đồng dạng CAF∆ (c-g-c) 
♦ AEC∆ đồng dạng CAF∆ 

 
AEC CAF⇒ = mà 

 
 
 
 


0 0
EOF AEC EAO ACF EAO
180 DAC 120
= + = +
= − =
1,00 
1,00 
1,00 
6 Cho tam giỏc ABC, phõn giỏc trong gúc A cắt BC Tại D, trờn cỏc Đoạn thẳng DB, DC lần 
lượt lấy cỏc điểm E và F sao cho
 
EAD FAD= . Chứng minh rằng: =
2
2
BE BF AB
CE CF AC
 . 
3,00 
A
B CD FE
K
H
♦Kẻ EH ⊥ AB Tại H, FK ⊥ AC Tại K 

 
 
 
BAE CAF; BAF CAE⇒ = = 
 HAE⇒ ∆ đồng dạng KAF∆ (g-g) AE EH
AF FK
⇒ = 
ABE
ACF
S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB
S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC
∆
∆
= = = ⇒ =
♦Tương tự 
BF AF.AB
CE AE.AC
= 
♦ 
2
2
BE BF AB
CE CF AC
⇒ = (đpcm). 
1,00 
1,25 
0,50 
0,25 
7 Trờn bảng cú cỏc số tự nhiờn Từ 1 đến 2008, người ta làm như sau lấy ra hai số bất kỡ và 
thay bằng hiệu của chỳng, cứ làm như vậy đến khi cũn một số trờn bảng thỡ dừng lại. Cú thể 
làm để trờn bảng chỉ cũn lại số 1 được khụng? Giải thớch. 
2,00 
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thỡ Tớnh chấtt chẳn lẻ của tổng cỏc số cú trờn bảng 
khụng đổi. 
1,00 
Trường em  
9 
Mà 
( )2008. 2008 1
S 1 2 3 ... 2008 1004.2009 0mod2
2
+
= + + + + = = ≡ ; 1 1mod2≡ do 
vậy trờn bảng khụng thể chỉ cũn lại số 1. 
1,00 
1 
2Bài 
1 
Cõu Nội dung điểm 
1. 2,0 
1.1 (0,75 điểm) 
 ( ) ( )2 27 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + + 
 ( ) ( )1 6x x= + + 
0.5 
0,5 
 1.2 (1,25 điểm) 
4 2 4 2 22008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + + 0,25 
 ( ) ( ) ( )24 2 2 2 2 21 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + − + + + 0,25 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 21 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + − + + + + = + + − + 0,25 
2s. 2,0 
 2.1 2 3 2 1 0x x x− + + − = (1) 
+ Nờu 1x ≥ : (1) s (thỏa mãn điều kiện 1x ≥ ). 
+ Nờu 1x < : (1) ( ) ( )( )2 24 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x⇔ − + = ⇔ − − − = ⇔ − − = 
 1; 3x x⇔ = = (cả hai đều khụng bé hơn 1, nờn bị loại) 
Vậy: Phương trỡnh (1) cú một nghiệm duy nhất là 1x = . 
0,5 
0,5 
 2.2 ( )
2 2 2
22 2
2 2
1 1 1 18 4 4 4x x x x x
x x x x
      
+ + + − + + = +      
      
 (2) 
Điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm: 0x ≠ 
 (2) ( )
2 2
22 2
2 2
1 1 1 18 4 4x x x x x
x x x x
        
⇔ + + + + − + = +        
         
( ) ( )
2
2 22
2
1 18 8 4 4 16x x x x
x x
   
⇔ + − + = + ⇔ + =   
   
0 8x hay x⇔ = = − và 0x ≠ . 
Vậy phương trỡnh đã cho cú một nghiệm 8x = − 
0,25 
0,5 
0,25 
Phũng Giỏo dục - Đào tạo 
TRựC NINH 
***** 
đỏp ỏn và hướng dẫn chấm thi Học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 
Mụn: Toỏn8 
Bài 1: (4 điểm) 
a) Điều kiện: x ≠ ± y; y ≠ 0 (1 điểm) 
Trường em  
10 
b) A = 2x(x+y) (2 điểm) 
c) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, Từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A 
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 
⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 ⇒A + (x – y + 1)2 = 2 
⇒ A = 2 – (x – y + 1)2 2≤ (do (x – y + 1) 0≥ (với mọi x ; y) ⇒A ≤ 2. (0,5đ) 
+ A = 2 khi ( )
x y 1 0
2x x y 2
x y;y 0
− + =

+ =
 ≠ ± ≠
 ⇔ 
1
x
2
3
y
2

=


=

+ A = 1 khi ( )
2
(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0

− + =

+ =
 ≠ ± ≠
 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng hạn: 
2 1
x
2
2 3
y
2

−
=


+
=
+ Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) 
Bài 2: (4 điểm) 
 a) x 11 x 22 x 33 x 44
115 104 93 82
+ + + +
+ = + 
x 11 x 22 x 33 x 44
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + + + = + + (1 điểm) 
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + = + 
x 126 x 126 x 126 x 126
0
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + − − = (0,5 điểm) 
...⇔ 
x 126 0⇔ + = 
x 126⇔ = − (0,5 điểm) 
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 
⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm) 
x y 0
y z 0
z x 0
− =

⇔ − =

− =
x y z⇔ = = 
⇔ x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) 
Trường em  
11 
Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 
 ⇔ z2009 = 32009 
 ⇔ z = 3 
Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm) 
Bài 3 (3 điểm) 
Cần Chứng minh: n5 – n M 10 
- Chứng minh : n5 - n M 2 
 n
5 
– n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) 
 (1 điểm) 
- Chứng minh: n5 – n M 5 
 n
5 
 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) 
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
lý luận dẫn đến tổng trờn chia HếT cho 5 (1,25 điểm) 
- Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n M 2.5 tức là n5 – n M 10 
Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,75 điểm) 
Bài 4: 6 điểm 
IP
Q
H
E
D
A
B C
M
Cõu a: 2 điểm 
* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) 
- Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (gg) 0,5 điểm 
- Từ đó suy ra . .
EB ED EA EB ED EC
EC EA
= ⇒ =
 0,5 điểm 
* Chứng minh 
 
EAD ECB= (1 điểm) 
- Chứng minh ∆ EAD đồng dạng với ∆ ECB (cgc) 0,75 điểm 
- Suy ra 
 
EAD ECB= 0,25 điểm 
Cõu b: 1,5 điểm 
- Từ 
BMC = 120o ⇒ 
AMB = 60o ⇒ 
ABM = 30o 0,5 điểm 
- Xét ∆ EDB vuụng Tại D cú 
B = 30o 
Trường em  
12 
 ⇒ ED = 
1
2 EB ⇒ 
1
2
ED
EB
=
 0,5 điểm 
- Lý luận cho 
2
EAD
ECB
S ED
S EB
 
=  
 
 Từ đó ⇒ SECB = 144 cm2 0,5 điểm 
Cõu c: 1,5 điểm 
- Chứng minh ∆ BMI đồng dạng với ∆ BCD (gg) 0,5 điểm 
- Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm 
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 cú giỏ trị khụng đổi 0,5 điểm 
Cỏch 2: Cú thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 
Cõu d: 2 điểm 
- Chứng minh ∆ BHD đồng dạng với ∆ DHC (gg) 0,5 điểm 
2
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC⇒ = ⇒ = ⇒ = 0,5 điểm 
- Chứng minh ∆ DPB đồng dạng với ∆ CQD (cgc) 

 


 

` 90o
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC
⇒ = 
⇒ ⊥
+ = 
 1 điểm 
Bài 5: (2 điểm) 
a) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú + ≥x y 2
y x
(*) ⇔ + ≥2 2x y 2xy 
2(x y) 0⇔ − ≥ (**). Bất đẳng thức (**) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) 
b) Đặt x y t
y x
+ = 
2 2
2
2 2
x y
t 2
y x
⇒ + = − (0,25đ) 
 Biểu thức đó cho trà thành P = t2 – 3t + 3 
 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ) 
- Nờu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t ≥ 2. ⇒ t – 2 ≥ 0 ; t – 1 > 0 ( )( )t 2 t 1 0⇒ − − ≥ 
P 1⇒ ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 ⇔ x = y (1) (0,25đ) 
- Nờu x; y trỏi dấu thỡ x 0
y
< và 
y
0
x
< ⇒ t < 0 ⇒ t – 1 < 0 và t – 2 < 0 
( )( )t 2 t 1⇒ − − > 0 ⇒ P > 1 (2) (0,25đ) 
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x ≠ 0 ; y ≠ 0 thỡ luụn cú P ≥ 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y 
Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 
đỏp ỏn , biểu điểm, hướng dẫn chấm 
Mụn Toỏn8 
Nội dung điểm 
Bài 1 (3 điểm) 
Trường em  
13 
Cú a4+ 1
4
=
2
2 2 2 21 1 1a a
2 2 2
a a a a
    
+ − = + + − +    
    
1,0 
Khi cho a cỏc giỏ trị Từ 1 đến 30 thỡ: 
Tử thức viết được thành 
(12+1+ 1
2
)(12-1+ 1
2
)(32+3+ 1
2
)(32-3+ 1
2
).(292+29+ 1
2
)(292-29+ 1
2
) 
0,5 
Mẫu thức viết được thành 
 (22+2+ 1
2
)(22-2+ 1
2
)(42+4+ 1
2
)(42-4+ 1
2
)(302+30+ 1
2
)(302-30+ 1
2
) 
0,5 
Mặt khỏc (k+1)2-(k+1)+ 1
2
=.=k2+k+ 1
2
0,5 
Nờn A=
2
2
11 1 12
1 186130 30
2
− +
=
+ +
0,5 
Bài 2: 4 điểm 
ý a: 2 điểm 
-Cú ý tưởng tỏch, thờm bớt hoặc thể hiện được như vậy để sử dụng bước sau 0,5 
-Viết được dạng bỡnh phương của một hiệu 0,5 
- Viết được bỡnh phương của một hiệu 0,5 
- lập luận và kết luận được 0,5 
ý b: 2 điểm 
Phõn tích được tử thức thành nhõn Tử 1,0 
Rỳt gọn và kết luận được 1,0 
Bài 3 : 4 điểm 
*Từ 2a + b ≤ 4 và b ≥ 0 ta cú 2a ≤ 4 hay a ≤ 2 1,0 
 Do đó A=a2 - 2a - b ≤ 0 0,5 
Nờn giỏ trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0 0,5 
* Từ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 - 2
3
a 
1,0 
Do đó A ≥ a2 – 2a – 2 + 2
3
a = ( 2
3
a − )2 - 22
9
≥ - 
22
9
0,5 
Vậy A cú giỏ trị nhỏ nhất là - 22
9
 khi a = 2
3
 và b = 2
3
0,5 
Bài 4 : 3 điểm 
- Chọn ốn và đạt điều kiện được 0,25 
- Biểu thị được mỗi đại lượng theo ốn và số liệu đã biết(4 đại lượng) 0,25 x 4 
- lập được phương trỡnh 0,25 
- Giải được phương trỡnh 0,5 
- đối chiếu và trả lời được thời gian của 1 ụ tụ 0,5 
- lập luận , Tớnh và trả lời được thời gian của ụ tụ cũn lại 0,5 
Bài 5 : 6 điểm 
ý a : 2 điểm 
Phũng giỏo dục và đào tạo 
kim bảng 
Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 
Mụn Toỏn lớp 8 
Trường em  
14 
 Thời gian 150 phỳt – Khụng kể thời gian giao đề 
Đề chớnh thức 
Bài 1 (3 điểm)Tớnh giỏ trị biểu thức 
4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 11+ 3 5 .......... 29
4 4 4 4A=
1 1 1 12 + 4 6 .......... 30
4 4 4 4
     
+ + +     
     
     + + +     
     
Bài 2 (4 điểm) 
 a/Với mọi số a, b, c khụng đồng thời bằng nhau, hãy Chứng minh 
a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ≥ 0 
 b/ Cho a + b + c = 2009. Chứng minh rằng 
3 3 3
2 2 2
a + b + c - 3abc
 = 2009
a + b + c - ab - ac - bc
Bài 3 (4 điểm). Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ; a và b thảo mãn 2a + 3b ≤ 6 và 2a + b ≤ 4. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ 
trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 – 2a – b 
Bài 4 (3 điểm). Giải Bài Toỏnbằng