Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017 đề thi môn: Toán

 UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
 Cho biểu thức P = 
a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b. Tìm x để P < 0
Bài 2: (4,0 điểm)
 Giải phương trình: . 
b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng 
Bài 3: (4,0 điểm)
 a. Tìm số tự nhiên n sao cho A= n+n+6 là số chính phương
b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 
 Chứng minh A = xy chia hết cho 12
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'. 
a. Chứng minh 
b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho . Chứng minh rằng AM = AN.
	c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'. 
Chứng minh rằng 
Bài 5: (2,0 điểm)
 Cho x, y là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:...................
Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................
 UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016-2017
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 9
 ( Đáp án này gồm có 05 trang)
Bài
Nội dung cần đạt
Điểm
1(4đ)
 Cho biểu thức P = 
a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b.Tìm x để P<0
Câu a:(2 điểm)
- Tìm được ĐKXĐ: x 
- Ta có
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu b:( 2 điểm)
- Ta có: P < 0
- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với thì P < 0.
0,5
1,0
0,5
2(4đ)
Câu a:(2đ)
 Giải phương trình: . 
- ĐKXĐ .
- Ta có
- Vì nên 
 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
- Nghiệm của phương trình đã cho là x=4
0,25
1,0
0,5
0,25
Câu b: (2đ)
 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng 
- Ta có
- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương 
- Do đó 
0,75
0,75
0,5
3(4đ)
Câu a:(2đ) 
Tìm số tự nhiên n sao cho A= n+n+6 là số chính phương
- Để A là số chính phương thì A= n+n+6 =a2 ( a )
- Ta có: n+n+6 =a2 
- Vì a,n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 
2a +2n +1 > 2a – 2n -1. Do đó
- Vậy n = 5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
Câu b:(2đ)
Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn 
Chứng minh A = xy chia hết cho 12
- Xét phép chia của xy cho3
Nếu xy không chia hết cho 3 thì
( Vô lí)
Vậy xy chia hết cho 3 (1)
- Xét phép chia của xy cho 4
Nếu xy không chia hết cho 4 thì
 TH1:
 (vô lí )
TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1. Không mất tính tổng quát giả sử
 ( vô lí)
- Vậy xy chia hết cho 4 (2)
- Từ (1) và (2) : Vậy xy chia hết cho 12
1,0
0,5
0,5
4
 Câu a( 2 điểm): Chứng minh 
- Xét có
 Góc A chung
 Suy ra: 
2 điểm
Câu b( 2 điểm):Chứng minh AM = AN.
- Xét vuông tại M đường cao MB'
- Xét vuông tại N đường cao NC'
- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB
- Do đó: AM = AN
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu c: ( 2đ) Chứng minh 
- Chỉ ra được 
- Tương tự 
- Do đó:
0,5
0,5
0,5
0,5
5(2đ)
 Bài 5( 2điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
- Ta có:
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
- Vì nên 
- Dấu "=" xảy ra khi 
- A đạt giá trị nhỏ nhất là khi 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa