Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán lớp 8 - Trường THCS Lê Bình

TRƯỜNG THCS LÊ BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
 TOÁN LỚP 8 
 Thời gian làm bài : 90 phút
Bài 1:a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
a) b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 
 	b) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương
 Bài 2: a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
b) Giải phương trình: 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.
a) Chứng minh đồng dạng với 
b) Chứng minh NE AM. 
c) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. 
Chứng minh rằng: 
TRƯỜNG THCS LÊ BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
 TOÁN LỚP 8 
 Thời gian làm bài : 90 phút
Bài 1:a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
a) b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 
 	b) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương
 Bài 2: a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
b) Giải phương trình: 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.
a) Chứng minh đồng dạng với 
b) Chứng minh NE AM. 
c) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. 
Chứng minh rằng: 
SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8
Bài 1. (6,5đ)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử (4đ): 
a) 
= 	1,0đ
= 	1,0đ
b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 
= 	0,5đ
= 	0,5đ
= 	0,5đ
= 	0,5đ
 	2) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương (2,5đ)
= = 	0,5đ
= 	0,5đ
= 	0,5đ
= + 	0,5đ
Mà 5 và 5 Vậy biểu thức M chia 5 dư 2, do đó M có số tạn cùng là 2 hoặc 7 nên M không là số chính phương. Vậy không có số tự nhiên n nào để M là một số chính phương	0,5đ
 Bài 2. (6,5đ)
1)Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: a + b - c > 0 	0,5đ
Đặt a = x + ; b = y + ; 	 0,5đ
Khi đó ta có = x2 + cx + y2 + cy +c 	1,0đ
= + +c (x+y) + > vì: > 0; > 0; c (x+y) > 0	1,0đ
2) Giải phương trình sau
 x4-7x3+18x2-21x+9=0 (1) 
xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (1)
chia hai vế của (1) cho x2 ta được 	1,0đ
Đặt ta được phương trình t2-7t+12=0 	0,5đ
t=3 hoặc t=4 	1,0đ
+) t=3 Vô nghiệm	0,5đ
+) t=4 x=1 hoặc x=3	0,5đ
Bài 3. (6,0đ)Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.
1) Chứng minh đồng dạng với 
2) Chứng minh NE AM. 
3) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP. 
HD: a) Ta có
1) 	 2,0đ
2) 1,0đ
 1,0đ
3) Cmtt như câu 2) ta có :
 (2) và MF AN 
 H chính là trực tâm của tam giác MAN. 1,0đ
mà (3) 	 0,5đ
Từ (2) và (3). 
Hay AM là tia phân giác của góc BAP.	 0,5đ
 A B
 E
 M
 H 
 F 
 P
 D N C
Bài 4 (1,0đ)Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC) Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE Chứng minh rằng: 
HD: 
 Đặt BC= a, 
Khi đó theo Pitago: AC = a (1)
Nếu đẳng thức thỏa mãn
 AD = AB = AE (vìAD=AE gt) 
E B 0,5đ
Nên AC = AD + DC = AB + BC = 3a (2)
Từ (1) và (2) đẳng thức 
không tồn tại 0,5đ
 E B
 C
A D