Đề khảo sát năng khiếu học sinh môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Quỳnh Lưu (Có đáp án)

PHềNG GD&ĐT QUỲNH LƯU 
KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH LỚP 8
NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi mụn: Toỏn
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (2,0 điểm). 
	Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ:
a) n3 – n chia hết cho 3.
 	b) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chớnh phương.
Cõu 2 (2,0 điểm).
Cho biểu thức: P = 
Nờu ĐKXĐ và rỳt gọn P.
Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Cõu 3 (2,0 điểm).
Giải cỏc phương trỡnh sau:
.
.
Cõu 4 (3,0 điểm). 
Cho tam giác vuông cân ABC (â=900). Trên cạnh AB lấy điểm M (M khỏc A, M
khỏc B). Qua B, kẻ đường thẳng vuụng gúc với CM tại D và cắt tia CA tại E. Chứng minh:
a) EB.ED = EA.EC.
b) = 450.
c) BD.BE + CA.CE = BC2.
Cõu 5 (1,0 điểm).
Cho điểm M nằm trong góc xOy. Một đường thẳng d quay quoanh điểm M cắt Ox,
Oy thứ tự tại A và B (A khỏc O; B khỏc O). Chứng minh khụng đổi khi đường thẳng d quay quoanh điểm M (trong đó SOMA, SOMB lần lượt là diện tớch của tam giỏc OMA, OMB).
------ Hết ------
Họ và tờn thớ sinh: ...................................................................... 	SBD: ............................................
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN: TOÁN
Cõu 1
Nội dung
2,0 điểm
a) 1,0
n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)
1,0
b) 1,0
1,0
Cõu 2
2,0
điểm
a)
1,0
ĐKXĐ: x 
2x2 + 3x +1 = (2x + 1)(x + 1)
x3 + x2 + 2x + 2 = x2(x + 1) + 2(x +1) = (x + 1)(x2 + 2)
P = 
0,25
0,5
0,25
b)
1,0
P – 1 = 
Dấu “=” xảy ra khi x = 1(thỏa món ĐKXĐ)
Vậy GTLN của P = 1 khi x = 1
P + 
Dấu “=’ xảy ra khi x = -2 (thảo món ĐKXĐ)
Vậy GTNN của P = -1/2 khi x = -2
0,5
0,5
Cõu 3
2,0
điểm
a)
1,0
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 3; x = -2
1,0
b)
1,0
b) Xột cỏc trường hợp:
- Nếu ta cú -2x – 1 - x + 1 = 4 (TM)
- Nếu ta cú 2x + 1 – x + 1 = 4 (loại)
Nếu ta cú 2x + 1 + x – 1 = 4 (TM)
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 4
3,0
điểm
a)
1,0
 AEB ~ DEC (Vì là 2 tam
giác vuông có chung )	
Nên = vậy EB. ED= EA. EC	C
 	H	
	M
 A 	B
 D
	E
1,0
b)
1,0
Từ EB. ED= EA. EC = mà chung
ADE ~EBC = 450
1,0
c)
1,0
 Ta có M là trực tâm của tam giác ECB.
Gọi H là giao điểm của EM và CB nên EH CB
Tương tự câu a ta có: BD. BE = BH. BC
 CA. CE = CH. CB
Vậy BD. BE + CA. CE = BC(CH + BH) = BC2
1,0
5
(1đ)
	d	x
 (1 điểm)
 A
	I
 M
	 O
	B
 y
Kẻ MI// OB (I OA). Vậy điểm I xác
 định hay S là không đổi.
Ta có = mà = (do IM//OB) mà = 
nên ta có = hay = S
= + = (không đổi)
1,