Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7 THCS năm học 2013 -2014 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2013 -2014
MÔN: TOÁN
Đề chính thức
Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề.
Đề thi có: 01 trang
Câu 1: (4 điểm) : a) Thực hiện phép tính sau: (69.210 + 1210) : (219.273 + 15.49.94) ;
 b) Tìm số tự nhiên n để 2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1.
Câu 2: (4 điểm): Tìm biết:
 a) ; b) .	
Câu 3: (4 điểm):
 a) Tìm x,y,z thỏa mãn : và x + 2y - 3z = -24 ;
 b) Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện : 
 ( x - 2013) . f(x) = ( x – 2014 ) . f(x-2012) . 
 Chứng minh rằng f(x) có ít nhất hai nghiệm.
Câu 4: (6 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
 a) Chứng minh: CD // AB.
 b) Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
 Chứng minh: HMN cân.
 c) Chứng minh rằng KH là tia phân giác góc AKC
Câu 5: (2 điểm): Tìm hai số tự nhiên x, y sao cho: .
Hết...
Họ và tên thí sinh:.., SBD:
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 THCS
 NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 04 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài.
- Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách; khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp lôgic.
- Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
II. Đáp án và biểu điểm.
Câu 1: (4 điểm): a) Thực hiện phép tính sau: (69.210 + 1210) : (219.273 + 15.49.94) ;
 b) Tìm số tự nhiên n để 2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1.
Đáp án
Biểu điểm
 a) (69.210 + 1210) :(219.273 + 15.49.94)
 = ( 39.29.210 + 220.310) : (219.39 + 3.5.218.38) 
 = [219.39(1+2.3)] : [218.39(2 +5)] 
 = (2.7) : 7
 = 2 
b) Ta có:( 2n2 –n + 2 ) : (2n+ 1) = n- 1 + 
Vậy để 2n2 –n + 2 chia hết cho 2n+1 thì 3 chia hết cho 2n+ 1
Tức là 2n+ 1 là ước của 3
 Ư(3)=Suy ra
 2n+ 1 = -3 n = -2
Tương tự :n= 0; n=1; n= -1
Vậy các giá trị n thỏa mãn: -2; -1; 0; 1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 2: (4 điểm). Tìm biết:
 a) ; 
 b) 
Đáp án
Biểu điểm
a) 
 hoặc 
 hoặc 	
Vậy giá trị cần tìm hoặc 
b) Ta có:
Vậy giá trị cần tìm x=2013 hoặc x=2014
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
Câu 3: (4 điểm): 
 a) Tìm x,y,z thỏa mãn : và x + 2y - 3z = -24 ;
 b) Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện : 
 ( x - 2013) . f(x) = ( x – 2014 ) . f(x-2012) . 
 Chứng minh rằng f(x) có ít nhất hai nghiệm.
Đáp án
Biểu điểm
a) HS đưa về dãy tỷ số bằng nhau: 	
Tìm được x = 12; y= 18; z = 24	
b) Tại x=2013 thay vào đẳng thức ta có: 
 (2013-2013).f(2013) = (2013-2014).f(2013-2012)
 f(1) = 0. Suy ra x=1 là một nghiệm của đa thức f(x)
Tại x=2014, thay vào đẳng thức ta có: 
 (2014-2013).f(2014) = (2014-2014).f(2014-2012)
 f(2014) = 0. Suy ra x=2014 là một nghiệm của đa thức f(x)
Vậy đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm x=1, x=2014
1đ
1đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4: (6 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
 Chứng minh: HMN cân.
c) Chứng minh rằng KH là tia phân giác góc AKC
Đáp án: Vẽ hình viết giả thiết kết luận đúng cho 0,5điểm
A
B
D
M
N
K
C
H
Đáp án
Điểm
a)Xét 2 tam giác: DABK và DDCK có:
BK = CK (gt)
 (đối đỉnh)
AK = DK (gt)
Þ DABK = DDCK (c-g-c)
Þ Þ AB // CD ( Vì có 2 góc so le trong bằng nhau).
b) Xét 2 tam giác vuông: rABH và rCDH có:
BA = CD (do DABK = DDCK)
AH = CH (gt)
Þ rABH = rCDH (cgv-cgv) (2 góc tương ứng)
Xét 2 tam giác vuông: rABC và rCDA có:
AB = CD; ; AC cạnh chung: Þ rABC = rCDA (c-g-c)
Þ 
mà: AH = CH (gt) và (vì DABH = DCDH)
Þ DAMH = DCNH (g-c-g)
Þ MH = NH. Vậy DHMN cân tại H
c)Theo trên ta có , suy ra DAKC cân tại C nên KH vừa là trung tuyến cũng là phân giác.
Vậy KH là tia phân giác góc AKC
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
Câu 5: (2 điểm): Tìm hai số tự nhiên x, y sao cho: .
	Đáp án
Bểu điểm
 Ta có 5 1 (mod 4) (mod 4) (mod 4) 
 (mod 4) y = 1, Thay vào đẳng thức trên ta có: 
Vậy hai số cần tìm x = 0, y = 1.
( Lưu ý: nếu bài trên học sinh sử dụng tính chất lũy thừa cơ số 5 chia cho 4 dư 1 mà suy ra kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa).
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Hết...