Bài tập về lũy thừa dạng: Rút gọn

BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN 
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a. 	( đáp số : D=1 )
b. 	
Giải
a/ 
b/ 
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a. 
b. 
Giải
a. 
b/
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ 
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau 
	b. 
Giải
. 
b/ 
Bài 2. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau :
a. 	b. 
Giải
a/ 
b/ 
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a. 	b. 
Giải
a/ 
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a. . Với 
b. . Với y = 1,2
Giải
a/ 
Với x=
. Với y=1,2 suy ra 
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
a. 	ĐS: A=0
b. 	
Giải
a/ 
b/ 
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
a. 	( đáp số : A= 15/2 )
b. 
Giải
a/ 
b/ 
Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau :
a. 	b. 
Giải
a/ 
b/ 
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau : 	(đáp số C=1)
. 	b. Chứng minh : 
Giải
a/ 
b. Chứng minh : 
Bài 9.
Không dùng bảng số và máy tính hãy tính : ( đáp số : =3 )
Chứng minh rằng : 
Giải
a/ Đặt y= 
b/ 
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
 .	b. 
c. 	d. 	
Giải
b/ 
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ
Bài 1. Đơn giản các biểu thức :
a. 	b. 	c. 	d. 
Giải
a. . b/ 
c/ 	d/ 
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a. 	b. 	(đáp số : )
c. 	(đáp số : ) 	 d. (đáp số : 
Giải
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha .
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức .
Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau :
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Giải
a/ . Ta có 
b/ . Ta có : 
c/ . Ta có : 
d/ . Ta có : 
e/ . Vì 
f/ 
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Giải
a/ . 	b/ 
c/ 
d/ ; 
 e/ 
f/ 
Bài 3. Chứng minh :	
Giải
Ta có : 
Bài 4. Tìm GTLN của các hàm số sau .
a. 	 b. 
Giải 
a/ .
 Đặt 
Do vậy : 
b/ . Vì : 
Bài 5. Tìm GTNN của các hàm số sau “
a. 	b. 	c. 	e. 
Giải
a/ 
b/ 
c/ 
e/ 
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục 
a. 	b. 	c. 
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2. Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu : 
. Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử : 
. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R .
Bài 3. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a. 	b. 	c. 	d. 
Giải
a/ . Do . Là một hàm số đồng biến 
b/ . Do Là một hàm số nghịch biến 
c/ . Do là một hàm số nghịch biến 
d/ là một hàm số đồng biến ( )	
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a. 	b. 	c. 	f. 
d. 	 e. 	g. 
Giải
a/ . Điều kiện : 
Vậy D=
b/ . Điều kiện : 
Phần còn lại học sinh tự giải 
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a. 	b. 
c. 	d. 
Giải
a/ 
=
b/ 
c/ 4,5=22,5
d/ 
II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a. 	b. 
c. 	d. 
Giải
a/
b/ 
c/ 
d/ 
Bài 2. Hãy tính 
a. 	b. 
c. 	d. D
Giải
a/ 
b/ 
c/ C=
d/ 
Bài 3. Hãy tính :
a. 
b. Chứng minh : 
Giải
a/ 
. Nếu x=2011! Thì A=
b/ Chứng minh : 
Vế trái : 
Chứng minh : 
VT= 
Bài 4. Tính :
a. 	b. 	c. 
d. 
e. 
Giải
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
( vì : ; Tương tự suy ra kết quả 
e/ 
Bài 5. Chứng minh rằng : 
a.Nếu : , thì :
b. Nếu 0<Nthì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
c. Nếu : tạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
d. Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : . Chứng minh : 
Giải
a/ Từ giả thiết : 
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
. ( đpcm )
c/ Nếu : tạo thành cấp số cộng thì 
d/ Nếu : . Lấy lê be 2 vế ta có :
III. SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ
Bài 1. Tính 
a.. Biết : 
b. . Biết : 	c. . Biết: 
d. . Biết : 	e. Tính : . Biết : 
Giải
a/ . Từ : (*)
Do đó : . Thay từ (*) vào ta có : A=
c/ Từ : 
d/ Ta có : (*)
Suy ra : 
e/ Ta có : 
Vậy : 
Bài 2. Rút gọn các biểu thức 
a. 
b. 
c. 
Giải
a/ 
b/ 
c/ 
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính , biết :
a. 	b. 	c. 
Giải
a/ Ta có : 
b/Ta có : 
c/ Ta có : 
Bài 4. Chứng minh 
a. với : 
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
	;	
Trong ba số : luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết : 
Ta lấy log 2 vế : 
b/ Chứng minh : . 
* Thật vậy : 
* 
* Từ 2 kết quả trên ta có :
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1) và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau 
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả 
Ví dụ 1: so sánh hai số : . Ta có : 
Ví dụ 2. So sánh : . Ta có : 
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a. 	b. 	c. 	d. 
e. 	f. 	g. 
h. 	k. 
Giải
a/ . Ta có : 
b/ . Ta có : 
c/ . Ta có : 
d/ . Ta có : 
e/ . Ta có : 
f/ . Ta có : 
Nhưng : 
g/ . Ta có : 
Nhưng : 
h/ . Ta có : 
k/ .
Ta có : 
Bài 2. Hãy so sánh :
a. 	b. 	c. 
Giải
a/ . Ta có : 
b/ . Ta có : 
c/ . Ta có : 
Bài 3. Hãy chứng minh :
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Giải
a/ . Ta có : 
Nhưng : 
b/ . Ta có : . Vậy 2 số này bằng nhau 
c/ . Ta có : 
d/ . Ta có : 
e/ . Ta có : 
f/ . Ta có : 
Bài 4. Hãy so sánh :
a. 	b. 	c. 	d. 
Giải
a/Ta có : . Hoặc : 
b/ . Ta có : 
c/ . Ta có : 
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Giải
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 	e/ 
f/ 
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Giải
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
e/ 
f/ 
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Giải
a/ 
b/ , 	c/ 
d/ ,	e/ 
Bài 2. Tìm các giới hạn sau 
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
Giải
a/ 	b/ 
c/ 	d/ 
e/ 	f/ 
Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a. 	 b. 	 c. 	 d. 
Giải
a/ 
b/. 
Đặt : 
. Khi 
c/ . Đặt : 
d/ . Đặt : 
Do đó : 
Vậy :