Toán 9 - Tính nhanh theo tổng xích ma

TÍNH NHANH
nhanh tuyÖt ®Ønh THEO TỔNG XÍCH MA
VD1:Tính giá trị của các biểu thức sau: a, A = 1+2+3+...+49+50.
	Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50, có quy luật là số sau lớn hơn số liền trước 1 đơn vị. Ta phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức.
1 → A
2 → B
A + B → A
B + 1 → B
Gán 1 vào ô nhớ A. (A là biến chứa).
Gán 2 vào ô nhớ B. (B là biến chạy).
Dòng lệnh 1
Dòng lệnh 2
 ...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi 
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấnvà đọc kq :(1 275)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh; A=1+2+3+...+49+50 == 1275
B = ?
	Nhận xét: Ta thấy tổng trên là tổng các phân số với tử số không đổi, mẫu là các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50. Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức.
1 → A
2 → B
A + → A
B + 1 → B
Gán 1 vào ô nhớ A
Gán 2 vào ô nhớ B
Dòng lệnh 1
Dòng lệnh 2
 ...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi 
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn và đọc kết quả. 
(KQ: 4,499205338)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh; B== = 4,499205338.
C = ?
	Nhận xét: Ta thấy biểu thức trên là một dãy các phép toán + và - xen kẽ các phân số với tử số không đổi, mẫu là các căn bậc hai của các số tự nhiên tăng dần từ 1 đến 50. Nếu mẫu là CBH của STN lẻ thì dấu là +, còn mẫu là CBH của STN chẵn thì dấu là -. Ta cũng phải lập một quy trình cho máy để sau một số lần ấn dấu ta thu được kết quả của biểu thức.
	Cách lập tương tự như VD2, song ta phải chú ý đến dấu của từng số hạng.
1 → A
2 → B
A + (-1)B+1 → A
B + 1 → B
Gán 1 vào ô nhớ A
Gán 2 vào ô nhớ B
Dòng lệnh 1
Dòng lệnh 2
 ...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu đến khi 
B + 1 → B có giá trị là 50 thì ấn và đọc kết quả. 
(KQ:0,534541474)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh; 
C== = 0,534541474
ÁP DỤNG 
S1 = 1349396080 (®¹t 3 ®iÓm)
S2 = 40 (®¹t 2 ®iÓm)
Bµi 9. ( 5 ®iÓm) TÝnh c¸c tæng sau:
a) S1= 2.4 + 4.6 + ...+ 2006.2008
®¸p S1 ==1349396080
b) S2 = 
®¸p S1 ==40
¸P DôNG 
Bài 1: ( 5 điểm) Tính giá trị các biểu thức:
a) Lời giải
A =+ +...++ 
=++...+
 = 
 = 43,83302 
Vậy: A 43,83302 (3 điểm)
c¸ch 2 nhanh tuyÖt ®Ønh; 
®¸p 
 A =43,83302 
Bµi 10:(5 ®iÓm) a,Tính S = chính xác đến 4 chữ số thập phân.
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, 
Gán số 1 cho các biến X,B,C. 
Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1û X : B = B + A : C = CB 
rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ s thập phân của S là: 1871,4353
b) Tính : 
Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X,B,C. 
Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1û : B = B + A : C = CB 
rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 9, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ so thập phân của F là: ............
Bài 7: Tìm x biết:
Lập quy trình ấn liên tục trên fx – 570MS, 570ES.
381978 : 382007 = 0.999924085
Ấn tiếp phím x-1 x 3 – 8 và ấn 9 lần dấu =. Ta được:
 . Tiếp tục ấn Ans x-1 – 1 = 
Kết quả : x = -1,11963298 hoặc 
Bài 6. (4 điểm) 
Tính chính xác giá trị của biểu thức số:
P = 3 + 33 + 333 + ... + 33.....33
	 13 chữ số 3
§¸P P= 
Bài 6(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn: 
Bài 6(5đ)
Ta có VT== 2đ
Do đó bđt đã cho 
	 1đ	Suy ra ĐK cần: (n+3)3> hay n>178,71, n nguyên nên n 1đ
ĐK đủ: thử lại :có 180.181.182 thoả mãn. Lại có khi n tăng thì tăng.
Vậy các số tự nhiên thoả mãn là n ,	1đ
Bài 7(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn: 
Bài 7(5đ)Yêu cầu của bài toán tương đương với 	1đ
Với n=0 thì (*) đúng
Vì nên khi n tăng thì giảm; suy ra VT(*) là hàm giảm theo n 1đ
Dùng máy tính: với A ? 0 và = liên tiếp 
Ta được thì (*) đúng; thì (*) sai	1đ
 nên với mọi n	 thì (*) sai(do nhận xét trên)	1đ
Vậy đáp số n tự nhiên& n 	1đ
Bài 8(5 điểm)Cho dãy số thoả mãn 
Tính 
Bài 8(5đ) Tính U20 ; 
Dùng máy tính:	1đ
X=X+1:D=C-9B+4A:Y=Y+D:
X=X+1:A=D-9C+4B:Y=Y+A:
X=X+1:B=A-9D+4C:Y=Y+B:
X=X+1:C=B-9A+4D:Y=Y+C
 calc X ? 3 ; Y ? 0,6 và ấn = liên tiếp ta có ; 2đ
Tương tự có P10 =24859928,14	
Bài 10(5 điểm)Tìm các số tự nhiên n thoả mãn:
Bài 10(5đ)Ta có 	1đ
	 2đ
Chứng minh được cần đủ là n	 2đ
Baøi 1 : Tính A = 
Baøi 6 : Tìm x vaø laøm troøn ñeán 4 chöõ soá thaäp phaân .
Baøi 5 : a) Tính S = 
BÀI 8/ Tính:	
Câu 2 (5 điểm): Tính giá trị các biểu thức:
a) C = 2.4 + 4.6 + 6.8 +  + 2008.2010.
b) D = (có 30 dấu căn).
Kết quả
a) C = 1.353.432.160 (2,5đ)
b) D » 1,7579 (2,5đ)
b) TÝnh B = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 339.
KÕt qu¶
B = 
= 6078832729528464400 (2,5®) 
(tính trên máy kết hợp trên giấy 3486784401.3486784401)
C©u 2 ( 6 ®iÓm) ( ChØ ghi kÕt qu¶ )
 a) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc C = 1+ đáp=.....
 b) Cho D = ( víi nN ). T×m n nhá nhÊt ®Ó D > 4.
 c) Cho 12+ 22+32+42+ +n2 = 1136275 (víi nN ). T×m n ?
3
PHẦN II : TỔNG SAI PHÂN HỮU HẠN 
Nguyên tắc chung để giải bài toán tổng sai phân hữu hạn : nên xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúng cho hợp lý để triệt tiêu hoặc đơn giản . Trong một số trường hợp , ta có thể dùng chức năng tính tổng của dòng máy CASIO fx 570 ES , tuy nhiên thời gian xử lý của máy khá lâu .
Dạng 1 : 
Các số hạng của tổng có dạng phân số , trong đó mẫu là các tích có qui luật và tử là hằng số 
Cách giải chung : Xét số hạng tổng quát và tìm cách phân tích chúng hợp lý để triệt tiêu 
Tính các tổng sau 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Dạng 2:Tổng của các tích có qui luật .Tính các tổng sau :
	a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 ++999.1000 
	b) 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 +.+ 99.101
	c) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +..+ 997.998.999
	d) 2.4.6 + 4.6.8 + 6.8.10 + .. + 96.98.100 
	e) 1.4 + 4.7 + 7.10 + + 301 .304 
	f) 2.4.6.8 + 4.6.8.10 + 6.8.10.12 +.+ 100 . 102 .104 . 106 
Phương pháp:Biến đổi số hạng tổng quát uk về dạng uk = ak– ak-1
	Ví dụ : Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +..+ n(n+1)(n+2) 
	Uk = k(k +1)(k+2) còn ak = 
	S = u1 + u2 + + un = (a1 – a0) + (a2 – a1) + +(an- an-1) = an – a0
	= 
Dạng 3: Tổng bình phương , lập phương các số tự nhiên liên tiếp :
 Tính các tổng sau 
A = 12 + 22 + 32 ++ n2 Công thức : A = 
B = 13 + 23 + 33 + +n3 Công thức : B = 
Trên đây là các dạng bài tập kinh điển về tổng sai phân hữu hạn thường gặp . Thực tế khi đi thi có rất nhiều bài tập rất khó đòi hỏi phải tư duy có chiều sâu và độ nhạy bén thông qua quá trình rèn luyện và tiếp thu các kiến thức cơ bản về tổng hữu hạn 
Bài 1: Tính các tổng sau : (bài tập luyện thi vòng quốc gia năm 2010) 
	A = 2 + 12 + 36 + 80 + 150 + .. + 1343100
B = 1 + 9 + 25 + . + 4004001
C = 1 + 27 + 125 + . + 1030301
D = 12 + 42 + 72 +  + 87025
E = 22 + 52 + 82 + . + 355216
Hướng dẫn A : Tổng của bính phường và lập phương các số tự nhiên liên tiếp
	B : Tổng bình phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp tính bởi công thức 
	C : Tổng lập phương của các số tự nhiên lẻ liên tiếp tính bởi công thức n2(2n2 – 1)
	D : Số hạng tổng quát dạng un = (3 n- 2)2 , dùng công thức D = 
	E : Số hạng tổng quát dạng un = (3 n- 1)2 , dùng công thức E = 
Bài 2 : Tính tổng 
Đây là bài tập thường xuyên được rèn luyện trong các năm vừa qua thường số cuối cùng cho đến năm hiện tại , một điều may mắn là trong kỳ thi QG ngày 19/3/2010 của em Nguyễn Mạnh Cầm , bài này được cho lại và đúng tới số .
Hướng dẫn : Tính 
Bài 3: Tính tổng (đề thi QG lần 10 )
13 Công thức tổng quát tính tổng các dãy số
1/ Cấp số cộng (dãy số cách đều) : Trong đó :
= số hạng đầu tiên; = số hạng thứ n; công sai ( khoảng cách) an - a (n-1) = d
 là Tổng n số hạng 
2/ Dãy số tự nhiên 1, 2, 3 ,4, 5........,n	 = 1+2+3+..+ n = 
3/ Dãy số lẻ 1, 3 5, 7.. .... 2n-1 => = 1+3+5 + ... + ( 2n -1) = n2
4/ Tổng các bình phương của n số tự nhiên 
 = 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 
5/ Tổng các lập phương của n số tự nhiên = 13+ 23 + ..... + n3 = 
6/ Tổng các lũy thưa 5 của n số tự nhiên
 = 15 +25+ ....+n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n - 1 )
 7/ Cấp số nhân: Trong đó :
 = số hạng đầu tiên; = số hạng thứ ( n+1); Công bội an /a (n-1) = r
là tổng của dãy từ k=0 đến k=n
8/ Dãy số là các căp số tự nhiên nhân dồn 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)
 Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) =
9/ Dãy số là các nghịch đảo của căp số tự nhiên nhân dồn 
 Sn = ( n > 1 ) = 1- với ( n > 1 )
10/ Dãy số là các nghịch đảo của căp số tự nhiên nhân dồn 
 Sn = =
11/ Dãy số có các tử là số lẻ, mẫu là bình phương cặp số tự nhiên nhân dồn
Sn = =1 - 
 12/ Dãy số đặc biệt 1 Sn = 1+ p1 + p 2 + p3 + ..... + pn = với ( p1) 
 13/ Dãy số đặc biệt 2 Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn = với ( p 1)
Câu 2 (6 điểm). Tìm :
a) Chữ số tận cùng của số 29999	b) Chữ số hàng chục của số 29999
Câu 3 (6 điểm). Cho biểu thức: P(x) = 
	a) Tính giá trị của P(); P() 	b) Tìm x biết P(x) = 
Câu 4 (6 điểm):
a) Đặt S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + n(n + 1). Tính S(100) và S(2009).
b) Đặt P(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.5 +  + n(n + 1)(n+2).Tính P(100) và P(2009).
Câu 5 (5 điểm)Biết rằng (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + . + a45x45. 
Tính S1 = a1 +a2 +a3 +  + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 +  + a44
Câu 2: Có 
Do đó Vậy cả a) và b) đều có đáp số là 8
Câu 3: Rút gọn được P(x)= ;
Tìm x để P(x) = 
Câu 4:Có 
Nên= 
P(100)=26527650; P(2009)= 
Ta có Và 149748.2012= 3011731776;2030.2012.= 4084360000000
 Cộng tay lại ta có: P(2009)= 4087371731776
Câu 5Đặt P(x)= đa thức đã choCó S1 = P(1) = ; có ;515625.5 = 2578125
 6130.5.= 30515000000 Cộng lại ta có S1 = 30517578125
 ; S2 = 
Bài 2(5 điểm)Cho dãy các số thực thoả mãn 
Tìm 
Bài 8(5 điểm)
Giả sử Tính 
GIAI	
Bài 8(5đ)Đặt
Khi đó = f(1)=9910 	1đ
=	2đ
 Viết kết quả từng phép toán thành dòng và cộng lại ta có 	1đ
S = 90438207500880449001	1đ
Bài 5(5 điểm)Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) (với x nhỏ nhất, có 3 chữ số) thoả mãn:
Bài 5(5đ)
Ta coi pt đã cho là pt với ẩn y rút y theo x
Khi đó . Vì x>0,y>0 nên 	2đ
Dùng máy tính với công thức:
Calc X? 99 = liên tiếp (vì x tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số)	2đ
Ta được nghiệm cần tìm: 	1đ
Bài 3(5 điểm)Giải hệ phương trình:
Bài 3 (5 đ) Đk: 
Ta chứng minh nếu hệ có nghiệm thì x=y, thật vậy nếu có nghiệm mà x>y thì 
-y>-x do đó từ 2 phương trình suy ra
	(Vô lý)
Tương tự cũng vậy khi có nghiệm mà x<y	2đ
Khi x=y hệ đã cho tương đương với 
(*)
	 2đ
 thoả Đk
Vậy nghiệm của hệ ; 	 	1đ
Bài 6(5 điểm)Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn:
Bài 6:(5đ)Với mọi n nguyên dương ta có giảm khi n tăng (1	)
Nên BĐT đã cho	>0(*) ở đó vế trái giảm khi A tăng	2đ
 Dùng máy: với X ? 0 = liên tiếp ta có (*) đúng với mọi A=1,2,,6; (*) sai khi A=7 . 	2đ
Kết hợp nhận xét trên suy ra đáp số n=1,2,,6	1đ
Bài 7(5 điểm)
Cho . Hãy tính ;
Bài 7(5đ)Theo bài ra có hệ:	1đ
Giải hệ ta có 	2đ
P 2đ	
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THPT(2/2009)
(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng)
Bài 5(5đ)
Bpt đã cho 	
Dễ thấy hàm số ở vế trái bpt nghịch biến trên R	1đ
Dùng máy tính: với lệnh SHIFT SOLVE X? 0,5 ta có nghiệm của vế trái 
x0= 0,7317739413. 	2đ
Từ đó suy ra nghiệm của bpt: x< 0,7317739413	2đ
Bµi 4: (2 ®iÓm).
Cho 
1, TÝnh tÝch A.( ViÕt kÕt qu¶ d­íi d¹ng tæng qu¸t ) (1 ® )
2, ¸p dông víi a=20082. TÝnh kÕt qu¶ A viÕt d­íi d¹ng ph©n sè. (1 ® )
1.
2. 
Bµi 5: (1 ®iÓm).
 1. ViÕt chu k× cña phÐp chia 1517=1. 0,(8823529411764705)
 2. T×m ch÷ sè thËp ph©n thø 2009 cña phÐp chia 1517 
2. Sè 1
Bài 9(5 điểm)Bạn An gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính phục vụ cho học tập với số tiền gửi ban đầu là 1,5 triệu đồng, gửi có kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 0,75% một tháng hỏi sau bao lâu(số năm, tháng) thì bạn An đủ tiền mua 1 máy tính trị giá 4,5 triệu đồng. Hãy so sánh hiệu quả của cách gửi nói trên với cách gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,8% một tháng(cách nào nhanh đạt nguyện vọng của An hơn)
Bài 9(5đ)Lý luận để ra công thức lãi kép : số tiền sau kỳ thứ n (cả gốc và lãi ) là
S = 1,5.(1+3.0,75:100)n =1,5.(1,0225)n (triệu đồng)	1đ
 Yêu cầu bài toán (*)(Tìm n nguyên dương)	1đ
Dùng máy dễ thấy thì(*) không đúng n=50 thì (*) đúng , lại có (1,0225)n tăng khi n tăng vì 1,0225>1
Do đó kết luận phải ít nhất 50 kỳ 3 tháng hay 12 năm 6 tháng thì bạn An mới có đủ tiền mua máy tính	2đ
So sánh để thấy gửi kiểu sau hiệu quả hơn( Chỉ cần 24 kỳ 6 tháng=12 năm là đạt nguyện vọng)	 1đ
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS(2/2009)
(Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng)
Bài 1(5 đ)Rút gọn được A=;B=; C=0,04991687445 	2đ
gửi vào A,B và C 	1đ 
Dùng máy tính giải phương trình bậc hai ta có nghiệm là:
X1=2,414136973; X2=0,05444941708	2đ
Bài 2(5 đ)
Xây dựng quy trình bấm máy Casio FX 570 ES:
1
X=X+1:A=4B-3A:C=C+A:D=DA:X=X+1:B=4A-3B:C=C+B:D=DB	2đ
X? 2 ;C? 3; D? 2 và ấn dấu bằng liên tiếp ta có U20 = 581130734; U8=1094; 	2đ 
P7=U1U2U7=255602200 .Từ đó suy ra ;S= 871696110 ;P8=279628806800	 1đ
Bài 3 (5 đ) 
Đk: 
Ta chứng minh nếu hệ có nghiệm thì x=y, thật vậy nếu có nghiệm mà x>y thì 
-y>-x do đó từ 2 phương trình suy ra
	(Vô lý)
Tương tự cũng vậy khi có nghiệm mà x<y	2đ
Khi x=y hệ đã cho tương đương với 
(*)
	 2đ
 thoả Đk
Vậy nghiệm của hệ ; 	 	1đ
Bµi 10: (2 ®iÓm).Cho d·y sè víi sè h¹ng tæng qu¸t ®­îc cho bëi c«ng thøc. 
 Un= víi =0, 1, 2, 3. 
1, TÝnh U0 , U1, U2, U3 , U4 . LËp c«ng thøc truy håi tÝnh Un+1 theo Un vµ Un-1
2. LËp qui tr×nh bÊm phÝm liªn tôc tÝnh Un+1 theo Un vµ Un-1
3, TÝnh tæng cña 10 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y. 
Gi¶i :
1. U0 = 2, U1,= 3, U2 = 14, U3 = 138, U4= 1538.
Gäi c«ng thøc truy håi lµ : Un+1 = a.Un +b.Un-1+c
Ta cã : óó
VËy : Un+1 = 12.Un - 8.Un-1 – 6
2. ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm trên máy CASIO Fx-570MS:
2 -> A
3 -> B
12B - 8A - 6 -> A
12A - 8B - 6 -> B
 SHIFT ==..
3. Tæng cña 10 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ : 3492861291
Bµi 7(5®) :Cho d·y sè {Un} nh­ sau: Un = + víi n = 1, 2, 3, .....
T×m c«ng thøc tÝnh Un+2 theo Un+1 vµ Un víi " n = 1, 2, 3, .....
 Un+2=10 Un+1 – U n
 b) LËp mét quy tr×nh bÊm phÝm liªn tôc ®Ó tÝnh Un+2 víi n ³ 1. 
Qui tr×nh bÊm phÝm: trên máy CASIO Fx-570MS:
10 SHIFT STO A 98 SHIFT STO B
10 ALPHA B – ALPHA A SHIFT STO A 
10 ALPHA A – ALPHA B SHIFT STO B
LÆp l¹i ( = ) nhiÒu lÇn ®Ó tÝnh c¸c U tiÕp theo
c) TÝnh U11 ; U12 . 
U11=89432354890
U12=885289046402
Bài 9: (5 điểm) 
Khi chia 85 cho 47 ta được số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì gồm 46 chữ số.
	1\ Hãy biểu diễn phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
	2\ Xác định chữ số thập phân thứ 2004 sau dấu phẩy.
1\ 1 , (8085106382978723404255319148936170212765957446)
2\ 2004 = 46. 43 +26
Chữ số thập phân thứ 2004 chính là chữ số ứng với vị trí 26 của chu kì là chữ số 1
Bài 1.4. 
D = -0,02295	(2 điểm)	
 Bài 2: (10 điểm)
BÀI 2.1. Giải phương trình 
Vì =-117173,3421 < 0 nên phương trình vô nghiệm 	(2 điểm)
BÀI 2.2. Giải hệ phương trình:
Thế x = y ta được: 4y2 = 2008 y2 = 502	
Suy ra: y1 = ; y2 = - 	
x1 = y1
x2 = y2
Kết quả 	(1 điểm)
x1 = 38,80721582
y1 = 22,4053565
x2 = - 38,80721582
y2 = - 22,4053565
BÀI 2.3. Tìm số dư trong phép chia 
P() = (1điểm)
Hướng dẫn giải:
Đặt P(x) = thì
P(x) = Q(x).() + r (với r là một số không chứa biến x)
Với x = thì P() = Q().0 + r hay r = P() 
Kết quả	(1 điểm)
	-12,85960053
BÀI 2.4. Tìm số dư trong phép chia 70286197 cho 200817
Ta có: 70286197 = 350.200817 + r
=> r = 70286197 - 350.200817 	(1 điểm)
* Học sinh có thể trình bày theo cách giải khác vẫn cho điểm.
Kết quả	(1 điểm)
	r = 245
2.5. Tìm ƯCLN và BCNN của hai số 126 và 1872
ƯCLN = 144	(1 điểm)
BCNN = 38817792 	(1 điểm)
Bài 3. (5 điểm)
3.1. (1 điểm) Mỗi tháng gửi tiết kiệm 850 000 đồng với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi sau một năm thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Số tiền cả gốc lẫn lãi là: =10 676 223,01
BÀI 5.1. (2 điểm) Tính tổng 
Ta có: 	=	
CÁCH 2: =
BÀI 5.2. (3 điểm) a. Tìm hai chữ số cuối cùng của 812008.
a) Ta có: 815 º 1(mod 100) 
812008 = 813.812005 = 813.(815)401 º813 (mod 100) º41 (mod 100)	 (1 điểm)
* Học sinh có thể trình bày theo cách giải khác vẫn cho điểm.	
Kết quả
	41
	b. Tìm chữ số hàng nghìn của 812008
b) Ta có: 
815 º 4401(mod 10000) 
8180 º 401 (mod 10000) 
81200 º 6001 (mod 10000) 
81800 º 4001 (mod 10000)
811000 º 1 (mod 10000) 
812000 º 1 (mod 10000) 
=> 812008 = 812000.815.813 	º 1.4401.1441 (mod 10000)
	º 1841 (mod 10000)	(1 điểm)
* Học sinh có thể trình bày theo cách giải khác vẫn cho điểm.
Kết quả (1 điểm)
Chữ số hàng nghìn là chữ số 1
BÀI 6.1 Cho dãy số với n = 1, 2, 3, 
a) Tính 5 số hạng đầu của dãy.
u1 = 2; u2 = 8; u3 = 34; u4 = 144; u5 = 610 (1 điểm)
b) Lập công thức truy hồi tính un+1 theo un và un-1? Lập qui trình ấn phím liên tục để tính số hạng thứ un+1?
	- Giaûi - 
Giaû söû (*)
Vôùi n = 2, 3 Thay vaøo (*) ta ñöôïc heä phöông trình : => 
Vaäy 	 (2điểm)
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
AÁn caùc phím: 	
Laëp laïi caùc phím: 
	 	 (2điểm)
BÀI 6.2 Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
- Giaûi - 
Ta thaáy (vôùi moïi n) vì neáu un = 0 thì un-1 = 0 hoaëc un-2 = 0 do ñoù u0 = 0 hoaëc u1 = 0. Voâ lí.	 (1 điểm)	
Ñaët khi aáy coù phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm . 	(2 điểm)
Coâng thöùc nghieäm toång quaùt: . Vôùi n = 0; 1 ta coù: . (1 điểm)
Vaäy hay 	(2 điểm)
BÀI 6.1 Cho dãy số với n = 1, 2, 3, 
a) Tính 5 số hạng đầu của dãy.
u1 = 2; u2 = 8; u3 = 34; u4 = 144; u5 = 610 (1 điểm)
b) Lập công thức truy hồi tính un+1 theo un và un-1? Lập qui trình ấn phím liên tục để tính số hạng thứ un+1?
	- Giaûi - 
Giaû söû (*)
Vôùi n = 2, 3 Thay vaøo (*) ta ñöôïc heä phöông trình : => 
Vaäy 	 (2điểm)
Qui trình aán maùy (fx-500MS vaø fx-570 MS)
AÁn caùc phím: 	
Laëp laïi caùc phím: 
	 	 (2điểm)
BÀI 6.2 Cho dãy . Tìm công thức tổng quát của dãy.
- Giaûi - 
Ta thaáy (vôùi moïi n) vì neáu un = 0 thì un-1 = 0 hoaëc un-2 = 0 do ñoù u0 = 0 hoaëc u1 = 0. Voâ lí.	 (1 điểm)	
Ñaët khi aáy coù phöông trình ñaëc tröng coù nghieäm . 	(2 điểm)
Coâng thöùc nghieäm toång quaùt: . Vôùi n = 0; 1 ta coù: . (1 điểm)
Vaäy hay 	(2 điểm)
C©u
§¸p ¸n
1
C©u 1: (5®) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 
 A = + + + . +
Khi x = 2009
A = 18,557943785
2
C©u2 (5 ®iÓm) Cho P(x) = x4 +ax3 + 8x2 + bx – 48 
X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, b . BiÕt P(x) chia hÕt cho (x-2) vµ (x+3).
Víi a, b t×m ®­îc h·y t×m d­ cña phÐp chia P(x) cho (x+5).
a) V× P(x) chia hÕt cho (x-2) nªn P(2) = 0 hay 8a + 2b = 0
Vµ P(x) chia hÕt cho (x+3) nªn P(-3) = 0 hay - 27a - 3b = -105 
VËy a,b lµ nghiÖm cña hÖ : 
Ên phÝm : MODE MODE 1 2 (gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh hai Èn)
Ên tiÕp: = 8 = 2 = 0 = -27 = -3 = -105 = (nhËp c¸c hÖ sè)
 (Kq x=7; y = -28)
VËy, víi a = 7 vµ b = - 28 th× P(x) chia hÕt cho (x-2) vµ (x+3) 
Víi a = 7 vµ b = - 28 th× P(x) = x4 +7x3 + 8x2 -28x – 48
Gäi r lµ d­ cña phÐp chia P(x) cho (x+5) khi ®ã ta cã
P(x) = (x+5).Q(x) + r => P(-5) = r.
Ên trªn m¸y: -5 SHIFT STO A
Ên tiÕp: ALPHA A ^ 4 + 7 ALPHA A x3 + 8 ALPHA A x2
 - 28 ALPHA A - 48 = (kq : 42)
VËy sè d­ khi chia P(x) cho (x+5) lµ 42.
3
C©u 3 (5®iÓm): Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau: (kÕt qu¶ viÕt d­íi d¹ng ph©n sè)
§Æt A = ; B = 
 Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ : 
Quy tr×nh Ên phÝm: 
	1 ab/c 4 + 3 = x-1 + 2 = x-1 + 1 = x-1 SHIFT STO A
1 ab/c 2 + 2 = x-1 + 3 = x-1 + 4 = x-1 SHIFT STO B
-4 ab/c ( ALPHA A - ALPHA B ) = SHIFT ab/c
KÕt qu¶: 
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : x = 
4
 C©u 4 (5 ): T×m UCLN vµ BCNN cña : 
209865 vµ 283935
4492512 vµ 5700
 c.TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña tÝch sau (KÕt hîp trªn giÊy vµ m¸y tÝnh casio)
 N = 2222288888 . 222229999
a. UCLN(209865;283935)=12345
 BCNN(209865;283935)= 4826895 
 b. UCLN(4492512;5700) = 456
 BCNN(4492512;5700) = 561564000
c. N = 11111. 200008. 11111. 200009
 = 11111 . 200008 . 200009
 = 11111 . (2 . 10+ 8)( 2 . 10 + 9)
 = 11111. 
 = 11111 . + 11111. + 11111 . 72
TÝnh: Trªn m¸y tÝnh kÕt hîp trªn giÊy
11111. = 4938172840000000000
11111 . = 419744691400000
11111 . 72 = 8888711112
Ta cã N= 4938592593580111112
5
C©u 5 (5 ®iÓm): D©n sè cña mét qu«c gia A lµ 85 triÖu ng­êi. TÝnh d©n sè cña n­íc ®ã
 sau 10 n¨m. BiÕt møc t¨ng d©n sè trung b×nh lµ 1,1%/1n¨m. 
(Lµm trßn ®Õn hµng ®¬n vÞ) 
Gäi d©n sè hiÖn nay lµ a
Møc d©n sè t¨ng lµ m%
Ta cã:
Sau 1 n¨m d©n sè n­íc A lµ: a + a.m% = a(1+ m%)
Sau 2 n¨m d©n sè n­íc A lµ: a(1+ m%) + a