Tài liệu ôn tập Toán Lớp 9 theo chủ đề

ÔN TẬP TOÁN 9 THEO CHỦ ĐỀ
I. Dạng bài tập về căn thức số:
 1) Cho biết a = và b = . Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab.
 2) Rút gọn biểu thức: . 3) Rút gọn : A = 
4) Thực hiện phép tính: 6) Tính: 
5) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau: ; . .
7) Rút gọn :A = 8) Rút gọn : A = 
9) Tính gọn biểu thức: A = . 11) Rút gọn : .
10) Cho x1 = và x2 = Hãy tính: A = x1 . x2; B = 
12) Cho các biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh: A - B = 7.
14) Rút gọn các biểu thức : A = 
15) Rút gọn: A = 16) A = .
17) Rút gọn biểu thức:	P = .
19) Tính . 20) Tính: .
21) Rút gọn : A = 22) Rút gọn : B = 
23) Rút gọn biểu thức: . 24) Tính : A = .
25) Rút gọn: A = 26) Tính: 
27) Tính .
II.Dạng bài tập về rút gọn biểu thức có câu hỏi phụ.
1) Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1)
a)Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P > . c) Tìm x để P = - 2x
2) Rút gọn biểu thức B = ( với x > 0, x 4 ).
3) Rút gọn biểu thức B = ( với a > 0, b > 0, a b)
4) Rút gọn biểu thức: A = với 
5) Cho biểu thức A = với a > 0, a 1
 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
6) Rút gọn biểu thức B = , với 0 < x < 1
7) Rút gọn biểu thức B = với a ≥ 0, a ≠ 1.
8) Rút gọn biểu thức: với a ≥ 0 và a ≠ 1.
9) Cho biểu thức: P = với x ≥ 0, x ≠ 4.
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P = 2.
10) Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1, a ¹ 2.
 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
11) Cho biểu thức: M = với .
a) Rút gọn M. b) Tìm x sao cho M > 0.
12) Cho biểu thức: K = với x >0 và x1
Rút gọn biểu thức K b) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2
13) Rút gọn biểu thức: với x > 0.
14) Rút gọn biểu thức: B = với 
15) Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1	
 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P > - 2
16) Rút gọn biểu thức: B = với .
17) Cho biểu thức: A = với a > 0, a ¹ 1
 	a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi .
18) Cho biểu thức: P = với x > 0.
a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P > .
19) Cho biểu thức: A = với a > 0, a 1.
 	a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
20) Cho biểu thức:	P = với a > 0 và a 9.
	a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của a để P > .
21) Rút gọn biểu thức P = với .
22) Cho biểu thức A =với a > 0, a ¹ 1
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2.
23) Cho biểu thức:	Q = .
a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3- 3.
24) Rút gọn A = với .
25) Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.
a) Rút gọn. b) Tìm a để P < 1.
26) Cho biểu thức: P = với x > 0.
 a) Rút gọi biểu thức P b) Tìm x để P = 0.
27) Rút gọn biểu thức: P= với x1 và x >0
28) Rút gọn biểu thức : M = với 
III. Bài tập về giải hệ phương trình.
1) Giải hệ phương trình: 
a) . b) c) u) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o) 
 p) q) r) 
2) Cho hệ phương trình: . 
 Tìm a và b để hệ đã cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1). 
3) Cho hệ phương trình: (1)
 a) Giải hệ phương trình đã cho khi m = 1.
 b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10.
4) Cho hệ phương trình 
	a) Giải hệ khi m = 2
	b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.
5) Tìm a, b biết hệ phương trình có nghiệm . 
IV. Bài tập về giải phương trình bậc hai.
1) Giải các phương trình: 
a) x2 – 7x + 3 = 0. b) x4 + 3x2 – 4 = 0 c) d) x2 – 3x + 1 = 0
e) ( x – 3 )2 = 4 f) 2x2 - 5x + 3 = 0 g) x2 - 2x - 15 = 0 h) x2 + 2x - 24 = 0.
i) x + k) l) m) 
n) = 8 - x2 + 2x .
V. Bài tập về hàm số.
1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y = - x + 2 và Parabol (P): y = x2.
2) a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
 b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.
3) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm M (- 2; ). 
 Tìm hệ số a.
4) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( 2; 3 ) và điểm 
 B(-2;1) Tìm các hệ số a và b.
5) Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ) và song song với đường thẳng 2x + y = 3. Tìm các hệ số a và b.
6) Cho hàm số y = x + 1. Tính giá trị của hàm số khi x = .
7) Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
8) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số đi qua điểm A (- 2 ; -12). Tìm a.
9) Với giá trị nào của k, hàm số y = (3 - k) x + 2 nghịch biến trên R.
10) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0
 Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường thẳng d.
11) Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : .
 a) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox.
 b) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3.
12) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. 
13) Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1
	a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
	b) Tìm m để (d) song song với (d’)
14) Cho hai hàm số: và 
 a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
 b) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
15) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - 1 
đi qua điểm M (- 1; 1). Tìm hệ số a.
16) Tìm m để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
17) Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + 2
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2)
b) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 2) x - 3 đồng biến trên tập xác định.
18) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): song song với đường thẳng .
19) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(2; 0).
20) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau.
21) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M (3; 2) và N (4; -1). 
 Tìm hệ số a và b.
22) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = 2.
 a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d.
 b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2 -1)x + m song song với đường thẳng d.
V. Bài tập về phương trình bậc hai chứa tham số, hệ thức Vi-et.
1) Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
 a) Giải phương trình trên khi m = 6.
 b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
2) Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
 a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
 b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
 ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2.
3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 3 = 0. 
 Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22.
4) Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
 b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
5) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình:3x2 – x – 2 = 0. 
 Tính giá trị biểu thức: P = .
6) Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
 a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
 b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).
7) Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 - x2 = 4.
8) Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
 a. Giải phương trình với m = 5
 b. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2.
9) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0. 
 a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
 b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình.
10) Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
 1) Giải phương trình với m = -3
 2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.
 3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
11) Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để - x1x2 = 7
12) Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.
13) Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1)
Giải phương trình (1) khi m = 2.
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2)
14) Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0	(1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn 
15) Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn .
16) Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
2b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .
17) Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)
 	a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
 	b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ).
18) Cho phương trình với là tham số.
 	a) Giải phương trình khi và .
 	b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .
19) Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
 	a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
 	b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
20) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 3 = 0. 
 Tính giá trị biểu thức P = .
21) Cho phương trình (1) với là tham số.
 	a) Giải phương trình khi .
 	b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị 
của m. Gọi là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = .
22) Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
a) Giải phương trình với k = - .
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.
23) Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 	(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.
24) Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0	(1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
25) Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) + m + 1 = 0 với m là tham số. 
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
26) Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0	(1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
27) Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0.	(1)
 a) Giải phương trình khi m = - 1.
 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn .
28) Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1.
29) Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)
 	a). Giải phương trình (1) khi m = 2
 	b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
30) Cho phương trình: (1)
 a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
 b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là . 
 Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là và .
VI. Bài tập về giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ pương trình.
1) Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng.
2) Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
3) Một xí nghiệp sản xuất được 120 sản phẩm loại I và 120 sản phẩm loại II trong thời gian 7 giờ. Mỗi giờ sản xuất được số sản phẩm loại I ít hơn số sản phẩm loại II là 10 sản phẩm. Hỏi mỗi giờ xí nghiệp sản xuất được bao nhiêu sản phẩm mỗi loại.
4) Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó.
5) Một đội xe nhận vận chuyển 96 tấn hàng. Nhưng khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc.
6) Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít
 hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết rằng các xe chở khối lượng
 hàng bằng nhau.
7) Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi
 và chiều dài lên gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới là 194m. Hãy tìm diện tích của
 thửa vườn đã cho lúc ban đầu.
8) Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tính các cạnh góc vuông.
9) Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng
 nhau. nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng
 không thay đổi. Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu
 dãy.
10) Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
11) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
12) Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó.
13) Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách nhau 24km. Cùng lúc đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi về đến B thì chiếc thuyền quay lại ngay và gặp chiếc bè tại địa điểm C cách A là 8km. Tính vận tốc thực của chiếc thuyền.
14) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km.
15) Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc?
16) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
17) Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.
VII. Bài tập hình học.
1) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh: 
 a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 b) AE.AF = AC2.
2) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC)
 a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 b) Vẽ MPBC (PBC). Chứng minh: MPK = MBC.
3) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
 b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. 
 Chứng minh: MN // EF.
4) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC sao cho: IEM = 900(I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông ).
Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Tính số đo của góc IME
5) Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F.
 a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
 b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE 
 c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn.
6) Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ). Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng:
 a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
 b) NM là tia phân giác của góc ANI.
7) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua tâm O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) tại điểm thứ hai là M.
 a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC.
 b) Gọi H là giao điểm của MA và BC; K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD.
8) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.
 a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
 b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.
9) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
 a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
 b) Chứng minh ADE = ACO.
10) Cho hai đường tròn (O) vàcắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và .
 a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
 b) Đường thẳng AC cắt đường tròntại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
11) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Dây BC = R. Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn. Tia AC cắt Bx tại M. Gọi E là trung điểm của AC.
1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn.
2) Gọi I là giao điểm của BE với OM. Chứng minh: IB.IE = IM.IO.
12) Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy 1 điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) tại D, đường thẳng AD cắt đường 
tròn tâm (O) tại S.
 a) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và 
 b) CA là tia phân giác của góc BCS.
 c) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
13) Cho ∆ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
 1) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.
 2) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).
 3) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.
14) Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh:
1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật.
2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
3) EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC.
15) Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R. Điểm M thuộc đường tròn sao cho MA < MB. Tiếp tuyến tại B và M cắt nhau ở N, MN cắt AB tại K, tia MO cắt tia NB tại H.
a) Tứ giác OAMN là hình gì ?
b) Chứng minh KH // MB.
16) Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE.
 Chứng minh rằng: DE//BC
 Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn.
17) Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Vẽ 
đường tròn tâm O đường kính BC; AT