Đề HSG Toán 9 huyện Hạ Hòa 2011-2012

Phòng GD&ĐT 
 hạ hoà
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2011 – 2012
môn thi: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 9 tháng 12 năm 2011
Câu 1 (6 điểm)
1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
2) Rút gọn biểu thức sau:
Câu 2 (4 điểm)
 	Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện:
 và 
Câu 3 (8 điểm) 
 	Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC.
Chứng minh:
Chứng minh: ; (Kí hiệu là diện tích tứ giác ABCD)
Câu 4.(2 điểm)
Cho ; với . Chứng minh: chia hết cho 59.
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
hướng dẫn chấm 
Câu
Phần 
Nội dung
Câu 1
6điểm
1)
3đ
Ta có: 
1
0,5
=
1
0,5
2)
3 đ
Đặt B =,B>0
Ta có
1
0,5
, Vì B > 0
1
Vậy 
0,5
Câu2
4điểm
Có
1
Nếu a = b và a, c dương.Ta có 
Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:
1
Nếu b = c và b,c dương.Ta có 
Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau:
1
Vậy các cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả mãn là (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2)
1
Câu3
8điểm
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đường trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB,ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M, Ta có BEAI là hình thoi (vì có hai đường chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
1
Ta có mà 
1
Xét EBK có ,đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có
1
Mà BK = r, BE = BI = R; BM = Nên (Đpcm)
1
Xét và có và chung 
Chứng minh tương tự ta được 
1
1
Ta có 
Mà theo định lí Pi ta go trong tam giác vuông AOB ta có 
Từ đó ta có: 
1
1
Câu 4 (2 điểm)
1
1