Một số bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị Lớp 9

doc 14 trang Người đăng duyenlinhkn2 Ngày đăng 14/11/2024 Lượt xem 80Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Một số bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị Lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Một số bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị Lớp 9
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1
Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng 
Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = 
Giải
1) Do (A – B)2 ≥ 0 nên với A >0; B >0
Bất đẳng thức xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi A = B
2) Từ bất đẳng thức luôn đúng suy ra : 
vì x+y+z =1 nên suy ra . Bất đẳng thức xẩy ra “=” khi và chỉ khi x = y = z = 1/3
- Ta có với A >0; B >0.
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có : 
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 14 khi x = y = z = 1/3
Bài 2: 1. Chứng minh 2. Chứng minh
Giải
2) Áp dụng kết quả phần 1:
 ( do a + b + c 1)
Dấu “=” xảy ra a = b = c = 
Bài 3
1.Cho x>1. Chứng minh 
2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 
Giải
1. (luôn đúng với x>1)=>
Dấu bằng xảy ra khi x = 2.
2. Theo bất đẳng thức Côsi ta có : E =
Áp dụng câu a ta có 	 => E . Vậy GTNN của E là 8 khi a = b = 2
Bài 4:  Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
a) b) 
Giải
a) Vì a,b,c >0 nên áp dụng phép biến đổi tương đương và rút gọn, được
Áp dụng bất đẳng thức Côssi ta chứng minh được BĐT trên
Dấu = xảy ra khi a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a) 
Tương tự có:
Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế:
Bài 5: a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2) ³ (b + 2a)2
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
 .
Giải
a/ 3(b2 + 2a2) ³ (b + 2a)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
b/Theo câu a): 
Chứng minh tươngtự:
Cộng (1), (2) và (3) vếvớivế ta được
Bài 6. Cho thỏa mãn . 
a) Chứng minh . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Giải
a)
b) Có .
 (Do )
Vậy GTNN của A bằng 2 khi và chỉ khi .
Bài 7: 
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh 
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Giải
a) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
 (1)
b) Áp dụng BĐT (1) ta có: (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 8
Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng:
Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng: 
Giải
a.Ta có: ó 
ó 2+a2 +b2 +2ab +a3b+ab3 2+2a2 + 2b2 +2a2b2 ( Do 2 mẫu có giá trị dương)
ó ( ab-1)(a-b)2 0 ( Luôn đúng do a, b >0 và ab>1)
Dấu = xảy ra ó a = b 
b.Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có
Tương tự: 
Cộng vế với vế của ba BĐT trên và chia cả hai vế của BĐT cho 4 > 0 ta được : 
Dấu = xảy ra ó a = b = c
Bài 9. 
a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh: 
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 
Chứng minh bất đẳng thức:. 
Giải
a) a, b, c là các số thực dương áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b)
Đặt Þ và 
Ta có: 
Do đó: 
Tương tự: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Bài 10
 Chứng minh bất đẳng thức : x3 +y3 xy(x+y) với x,y 0 
Cho ba số x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh răng:
Giải
Chứng minh đúng bất đẳng thức :
 x3 +y3 xy(x+y) (x-y)2( x+y) 0 đúng với mọi với x,y 0 
Đặt x2= a3 , y2= b3 , z2= c3 suy ra abc = 1.ta có 
 a3 +b3 +1 = ab( a+b+c) tương tự 
=> tương tự
 => 
Bài 11 
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh 
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Giải
1) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
 (1)
2) Áp dụng BĐT (1) ta có: (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 12. a) Cho x > 0; y > 0. Chứng minh: 
 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: . Chứng minh:
Giải
Vì (x – y)2 ≥ 0 nên (x + y)2 ≥ 4xy Û (vì x>0; y>0)
(đpcm). Dấu “=” xảy ra khi x = y
Ta có: 
Áp dụng câu 1 ta được: Û 
Tươngtự:Û
 Û
Suy ra: (1) 
Tương tự: 
 và 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Dấu “=” xảy ra khi 
 Bài 13. a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:.
	 b) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: b + d 0 và . 
 Chứng minh rằng phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d) = 0 (x là ẩn) luôn có nghiệm
Giải
.a) Với x và y đều dương, ta có (1)
 (2)
(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi 
b) Xét 2 phương trình: x2 + ax + b = 0 (1) và x2 + cx + d = 0 (2) 
+ Với b+d <0 b; d có ít nhất một số nhỏ hơn 0 
 >0 hoặc >0 pt đã cho có nghiệm
+ Với . Từ ac > 2(b + d) => 
=> Ít nhất một trong hai biểu giá trị => Ít nhất một trong hai pt (1) và (2) có ng.
Vậy với a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: b + d 0 và ,
 phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x là ẩn) luôn có nghiệm
Bài 14
 a) Cho a, b > 0. Chứng minh (1)
 b) Cho a, b, c > 0 thoả . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
a) Do a, b > 0 nên ta có: (*) luôn đúng. 
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b 
b) Áp dụng (1) ta được: .
=>; với a, b, c > 0. (2) 
Áp dụng (2) tacó: ;với a, b, c > 0. (3)
Áp dụng (2) và (3) ta được: . 
Mà Suy ra 
Suy ra GTLN của M = 1 khi a = b = c 
Bài 15 Cho x > 0 , y > 0, z > 0.
a) Chứng minh rằng : 
b) Biết x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Giải
a) Có x > 0, y > 0 Þ nên theo BĐT Cô si ta có :
 (1) Dấu ‘ =’ xảy ra Û x =y
b) Có x + y + z = 1 
ÞP = ( x +y +z). = 3 + 
Áp dụng BĐT (1) ta được P ³ 3 +2 +2 + 2 Û P ³ 9
Þ Pmin = 9 
Bài 16: 
a) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 
 b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 	
Giải
a) Ta có: 
 ( vì a, b dương)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
b) Áp dụng BĐT phần a ta có: 
Khi đó: 
Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
Vì nên ta có: . Khi đó: P 5
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
KL: Vậy GTNN của P bằng 5 khi 
Bài 17: 
a) Chứng minh bất đẳng thức: 
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
Giải
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
Tương tự ta cũng có 
Áp dụng phần a) ta có
Bài 18: 
a) Cho các số và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn . 
 Chứng minh rằng : 
Giải
a) Với ta có . Thật vậy: 
 Dấu ‘=” xảy ra khi x = y
Ta thấy: 
 Lại có 
Mặt khác 
Từ (1) và (2) suy ra 
Từ (1) và (4) suy ra . Vậy GTNN của A là 56 khi 
b) Từ (*) Dấu “=” khi .
Ta có: 
Suy ra (Áp dụng (*)) 
Tương tự ta có: 
 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 19: 
1.Cho 2 số x, y 0. Chứng minh x + y 2
2. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm GTLN của: P = + + 
Giải
x + y 2 x + y - 2 0(- )2 0 luôn đúng với mọi x, y 0
Vậy (*)
Xét = (do x + y + z = 2)= = 
Áp dụng bất đẳng thức (*) Cosi cho 2 số dương x + y, x + z ta có: (x +y) +(x + z) 2
 (1)
Chứng minh tương tự có: (2)
 (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: P = + + = 4
Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 khi và chỉ khi x= y = z = .
Bài 20
a) Cho , chứng minh: .
b) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	. 
Giải
Biến đổi tương đương (1)
 luôn đúng với mọi x, y, z (2) 
Vậy BĐT (1) đúng, dấu "=" xảy ra khi x = y = z. 
Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) 
 (2) 
Lại có (3) 
Từ (2) và (3) suy ra .
Vậy max khi x = y = z = 4. 
Bài 21
 1) với a,b là các số dương. Chứng minh rằng: ³ 2
 2) Với x > 2015, tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
Giải
1) Với a,b> 0, ³ 2Û ³ 4ab Û - 4ab ³ 0
 Û ³ 0 ( luôn đúng với mọi a,b)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
2)(0,75điểm)
A = 
A -1 = => A – 1 = 
Do nên Áp dụng bất đẳng (a) có:
 A -1 = ³ 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ...... Û x = 4030 ( TMĐK) 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi x = 4030
Bài 22
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh 
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Giải
a)Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
 (1)
Áp dụng BĐT (1) ta có: (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 23
1) Cho a > 0, b > 0.Chứng minh a + b 2.
2) Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 .
Giải
Có a + b 2ó (-)2 0 ( luôn đúng) Dấu = xảy ra khi a = b.
Vớitacó: 
Tương tự có . 
 Từ (1) và (2) 
Vìmà 
.Khi a = b = 1 thì . 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 
Bài 24 a. Cho a, b là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng 
 b. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải
a) 
- Vì a, b dương => ab> 0 và (a – b)2 0 với mọi a, b => (2) luôn đúng => (1) luôn đúng.
- Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (a- b)2 = 0 a = b.
b. 
Đặt x+1=a; y+1=b; z+1=c, ta có: a,b,c>0; a+b+c = 4
=> 4P = 12 – 4 =12-(a+b+c) 
 = 12- 
- Áp dụng bất đẳng thức ở phần a ta được 4P 12- ( 3 +2+2+2) = 3
=> P => Pmax = khi và chỉ khi a = b = c hay x=y=z và x+y+z =1
Bài 25. Cho x và y là hai số dương có tổng bằng 1.
 Chứng minh xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
Ta có: , x + y = 1
Áp dụng bất đẳng thức côsi. . Dấu *=* xảy ra 
Mà . Vậy A nhỏ nhất = = 
Bài 26
a) Chứng minh bất đẳng thức: 3(xy + yz + zx) 
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
Giải
3(xy + yz + zx) 
Để ý rằng ta có hai bất đẳng thức ngược chiều sau đây
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 
 (Theo câu a)
Đẳng thức xảy ra 

Tài liệu đính kèm:

  • docmot_so_bai_tap_ve_bat_dang_thuc_va_tim_cuc_tri_lop_9.doc