Một số bài tập về bất đẳng thức và tìm cực trị Lớp 9

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1
Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng 
Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = 
Giải
1) Do (A – B)2 ≥ 0 nên với A >0; B >0
Bất đẳng thức xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi A = B
2) Từ bất đẳng thức luôn đúng suy ra : 
vì x+y+z =1 nên suy ra . Bất đẳng thức xẩy ra “=” khi và chỉ khi x = y = z = 1/3
- Ta có với A >0; B >0.
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có : 
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 14 khi x = y = z = 1/3
Bài 2: 1. Chứng minh 2. Chứng minh
Giải
2) Áp dụng kết quả phần 1:
 ( do a + b + c 1)
Dấu “=” xảy ra a = b = c = 
Bài 3
1.Cho x>1. Chứng minh 
2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 
Giải
1. (luôn đúng với x>1)=>
Dấu bằng xảy ra khi x = 2.
2. Theo bất đẳng thức Côsi ta có : E =
Áp dụng câu a ta có 	 => E . Vậy GTNN của E là 8 khi a = b = 2
Bài 4:  Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
a) b) 
Giải
a) Vì a,b,c >0 nên áp dụng phép biến đổi tương đương và rút gọn, được
Áp dụng bất đẳng thức Côssi ta chứng minh được BĐT trên
Dấu = xảy ra khi a = b = c
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a) 
Tương tự có:
Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế:
Bài 5: a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2) ³ (b + 2a)2
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
 .
Giải
a/ 3(b2 + 2a2) ³ (b + 2a)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
b/Theo câu a): 
Chứng minh tươngtự:
Cộng (1), (2) và (3) vếvớivế ta được
Bài 6. Cho thỏa mãn . 
a) Chứng minh . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Giải
a)
b) Có .
 (Do )
Vậy GTNN của A bằng 2 khi và chỉ khi .
Bài 7: 
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh 
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Giải
a) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
 (1)
b) Áp dụng BĐT (1) ta có: (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 8
Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng:
Cho a,b >0 và ab>1. Chứng minh rằng: 
Giải
a.Ta có: ó 
ó 2+a2 +b2 +2ab +a3b+ab3 2+2a2 + 2b2 +2a2b2 ( Do 2 mẫu có giá trị dương)
ó ( ab-1)(a-b)2 0 ( Luôn đúng do a, b >0 và ab>1)
Dấu = xảy ra ó a = b 
b.Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có
Tương tự: 
Cộng vế với vế của ba BĐT trên và chia cả hai vế của BĐT cho 4 > 0 ta được : 
Dấu = xảy ra ó a = b = c
Bài 9. 
a) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh: 
b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 
Chứng minh bất đẳng thức:. 
Giải
a) a, b, c là các số thực dương áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b)
Đặt Þ và 
Ta có: 
Do đó: 
Tương tự: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
Bài 10
 Chứng minh bất đẳng thức : x3 +y3 xy(x+y) với x,y 0 
Cho ba số x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh răng:
Giải
Chứng minh đúng bất đẳng thức :
 x3 +y3 xy(x+y) (x-y)2( x+y) 0 đúng với mọi với x,y 0 
Đặt x2= a3 , y2= b3 , z2= c3 suy ra abc = 1.ta có 
 a3 +b3 +1 = ab( a+b+c) tương tự 
=> tương tự
 => 
Bài 11 
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh 
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Giải
1) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
 (1)
2) Áp dụng BĐT (1) ta có: (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 12. a) Cho x > 0; y > 0. Chứng minh: 
 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: . Chứng minh:
Giải
Vì (x – y)2 ≥ 0 nên (x + y)2 ≥ 4xy Û (vì x>0; y>0)
(đpcm). Dấu “=” xảy ra khi x = y
Ta có: 
Áp dụng câu 1 ta được: Û 
Tươngtự:Û
 Û
Suy ra: (1) 
Tương tự: 
 và 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Dấu “=” xảy ra khi 
 Bài 13. a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:.
	 b) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: b + d 0 và . 
 Chứng minh rằng phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d) = 0 (x là ẩn) luôn có nghiệm
Giải
.a) Với x và y đều dương, ta có (1)
 (2)
(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi 
b) Xét 2 phương trình: x2 + ax + b = 0 (1) và x2 + cx + d = 0 (2) 
+ Với b+d <0 b; d có ít nhất một số nhỏ hơn 0 
 >0 hoặc >0 pt đã cho có nghiệm
+ Với . Từ ac > 2(b + d) => 
=> Ít nhất một trong hai biểu giá trị => Ít nhất một trong hai pt (1) và (2) có ng.
Vậy với a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: b + d 0 và ,
 phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x là ẩn) luôn có nghiệm
Bài 14
 a) Cho a, b > 0. Chứng minh (1)
 b) Cho a, b, c > 0 thoả . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
a) Do a, b > 0 nên ta có: (*) luôn đúng. 
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b 
b) Áp dụng (1) ta được: .
=>; với a, b, c > 0. (2) 
Áp dụng (2) tacó: ;với a, b, c > 0. (3)
Áp dụng (2) và (3) ta được: . 
Mà Suy ra 
Suy ra GTLN của M = 1 khi a = b = c 
Bài 15 Cho x > 0 , y > 0, z > 0.
a) Chứng minh rằng : 
b) Biết x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Giải
a) Có x > 0, y > 0 Þ nên theo BĐT Cô si ta có :
 (1) Dấu ‘ =’ xảy ra Û x =y
b) Có x + y + z = 1 
ÞP = ( x +y +z). = 3 + 
Áp dụng BĐT (1) ta được P ³ 3 +2 +2 + 2 Û P ³ 9
Þ Pmin = 9 
Bài 16: 
a) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 
 b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 	
Giải
a) Ta có: 
 ( vì a, b dương)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
b) Áp dụng BĐT phần a ta có: 
Khi đó: 
Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
Vì nên ta có: . Khi đó: P 5
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
KL: Vậy GTNN của P bằng 5 khi 
Bài 17: 
a) Chứng minh bất đẳng thức: 
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
Giải
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
Tương tự ta cũng có 
Áp dụng phần a) ta có
Bài 18: 
a) Cho các số và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn . 
 Chứng minh rằng : 
Giải
a) Với ta có . Thật vậy: 
 Dấu ‘=” xảy ra khi x = y
Ta thấy: 
 Lại có 
Mặt khác 
Từ (1) và (2) suy ra 
Từ (1) và (4) suy ra . Vậy GTNN của A là 56 khi 
b) Từ (*) Dấu “=” khi .
Ta có: 
Suy ra (Áp dụng (*)) 
Tương tự ta có: 
 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 19: 
1.Cho 2 số x, y 0. Chứng minh x + y 2
2. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm GTLN của: P = + + 
Giải
x + y 2 x + y - 2 0(- )2 0 luôn đúng với mọi x, y 0
Vậy (*)
Xét = (do x + y + z = 2)= = 
Áp dụng bất đẳng thức (*) Cosi cho 2 số dương x + y, x + z ta có: (x +y) +(x + z) 2
 (1)
Chứng minh tương tự có: (2)
 (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: P = + + = 4
Vậy giá trị lớn nhất của P là 4 khi và chỉ khi x= y = z = .
Bài 20
a) Cho , chứng minh: .
b) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:	. 
Giải
Biến đổi tương đương (1)
 luôn đúng với mọi x, y, z (2) 
Vậy BĐT (1) đúng, dấu "=" xảy ra khi x = y = z. 
Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) 
 (2) 
Lại có (3) 
Từ (2) và (3) suy ra .
Vậy max khi x = y = z = 4. 
Bài 21
 1) với a,b là các số dương. Chứng minh rằng: ³ 2
 2) Với x > 2015, tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
Giải
1) Với a,b> 0, ³ 2Û ³ 4ab Û - 4ab ³ 0
 Û ³ 0 ( luôn đúng với mọi a,b)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. 
2)(0,75điểm)
A = 
A -1 = => A – 1 = 
Do nên Áp dụng bất đẳng (a) có:
 A -1 = ³ 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ...... Û x = 4030 ( TMĐK) 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi x = 4030
Bài 22
Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh 
Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . 
Chứng minh rằng .
Giải
a)Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có
 (1)
Áp dụng BĐT (1) ta có: (1’)
Tương tự (2’); (3’)
Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài 23
1) Cho a > 0, b > 0.Chứng minh a + b 2.
2) Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 .
Giải
Có a + b 2ó (-)2 0 ( luôn đúng) Dấu = xảy ra khi a = b.
Vớitacó: 
Tương tự có . 
 Từ (1) và (2) 
Vìmà 
.Khi a = b = 1 thì . 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 
Bài 24 a. Cho a, b là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng 
 b. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải
a) 
- Vì a, b dương => ab> 0 và (a – b)2 0 với mọi a, b => (2) luôn đúng => (1) luôn đúng.
- Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (a- b)2 = 0 a = b.
b. 
Đặt x+1=a; y+1=b; z+1=c, ta có: a,b,c>0; a+b+c = 4
=> 4P = 12 – 4 =12-(a+b+c) 
 = 12- 
- Áp dụng bất đẳng thức ở phần a ta được 4P 12- ( 3 +2+2+2) = 3
=> P => Pmax = khi và chỉ khi a = b = c hay x=y=z và x+y+z =1
Bài 25. Cho x và y là hai số dương có tổng bằng 1.
 Chứng minh xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
Ta có: , x + y = 1
Áp dụng bất đẳng thức côsi. . Dấu *=* xảy ra 
Mà . Vậy A nhỏ nhất = = 
Bài 26
a) Chứng minh bất đẳng thức: 3(xy + yz + zx) 
b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 
Giải
3(xy + yz + zx) 
Để ý rằng ta có hai bất đẳng thức ngược chiều sau đây
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 
 (Theo câu a)
Đẳng thức xảy ra