Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử dành cho học sinh giỏi Lớp 9 (Có đáp án)

BÀI TẬP
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
(ab - 1)2 + (a + b)2 ;	b) x3 + 2x2 + 2x + 1;	c) x3 - 4x2 + 12x - 27 ;
x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ;	e) x4 - 2x3 + 2x - 1.	
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
x2 - 2x - 4y2 - 4y ;	b) x4 + 2x3 - 4x - 4 ;
x2(1 - x2) - 4 - 4x2 ;	d) (1 + 2x)(1 - 2x) - x(x + 2)(x - 2) ;
x2 + y2 - x2y2 + xy - x - y.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ;
(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc ;
c(a + 2b)3 - b(2a + b)3.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) ;
x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ;
(x + y)(x2 - y2) + (y + z)(y2 - z2) + (z + x)(z2 - x2) ;
x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y) ;
x3(z - y2) + y3(x - z2) + z3(y - z2) + xyz(xyz - 1).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a(b + c)2(b - c) + b(c + a)2(c - a) + c(a + b)2(a - b)
a(b - c)3 + b(c - a)3 + c(a - b)2 ;
a2b2(a - b) + b2c2(b - c) + c2a2(c - a) ;
a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) - 2abc - a3 - b3 - c3 ;
a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 ;
abc - (ab + bc + ca) + a + b + c - 1.
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 16) :
a) 6x2 – 11x + 3 ;	b) 2x2 + 3x – 27 ;	c) x2 – 10x + 24 ;
 d) 49x2 + 28x – 5 ;	e) 2x2 – 5xy – 3y2.
a) x3 + 2x - 3 ;	b) x3 - 7x + 6 ;	c) x3 – 5x + 8x – 4 ;
d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ;	e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ;	g) x3 – x2 + x – 1 ;
 h) x3 + 6x2 – x – 30 ;	i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).	
a) 27x3 + 27x +18x + 4 ;	b) 2x3 + x2 +5x + 3 ;	c) (x2 – 3)2 + 16.
 a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15 ; 	b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 ;
 c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 ; 	
 a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ; 
 b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ;
 c) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
 (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc bằng cách đổi biến : đặt a + b = m và a - b = n.
 a) 4x4 - 32x2 + 1 ;	b) x6 + 27 ; c) (2x2 - 4)2 + 9. 
 a) 4x4 + 1 ; 	b) 4x4 + y4 ; 	c) x4 + 324.
 a) x5 + x4 + 1 ;	b) x5 + x + 1 ;	c) x8 + x7 + 1 ;
 d) x5 - x4 - 1 ;	e) x7 + x5 + 1 ;	g) x8 + x4 + 1.
 a) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 ;	b) x3 + 3xy + y3 - 1.
 Dùng phương pháp hệ số bất định :
4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ;	b) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1 ;
x4 - 8x + 63 ;	d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.
 a) x8 + 14x4 + 1 ; 	b) x8 + 98x4 + 1.
 Dùng phương pháp xét giá trị riêng :
M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
 Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu :
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
 Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.
 Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì 
a = b = c = d.
 Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì :
(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.
 Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0.
 Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thì :
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3.