Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp trường môn thi: Toán

THCS NGHĨA THẮNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG
 MÔN THI : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 NGÀY THI : 11/4/2015
 THỜI GIAN : 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Bài 1: ( 4 điểm)
	1/ Không sử dụng máy tính, hãy thực hiện phép tính:
A = 
2/ Cho biểu thức B = 
a/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn B.
b/ Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng.
Bài 2: (5 điểm)
	1/ Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng y = ax – 1 ; y = 1 ; y = 5 và trục tung tạo thành hình thang có diện tích bằng 8 (đơn vị diện tích).
	2/ Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời và . Tính giá trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2015.
Bài 3: (5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (DBC, EAC, F AB) cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở M, N, K. Chứng minh rằng:
a/ BH.BE + CH.CF = BC2.
	b/ AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
	c/ .
Bài 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng CD = 6 cm, I là một điểm nằm giữa C và D ( IC > ID). Trên tia Ix vuông góc với CD lấy hai điểm M và N sao cho IC = IM, ID = IN, CN cắt MD tại K (, DN cắt MC tại L . Tìm vị trí của điểm I trên CD sao cho CN.NK có giá trị lớn nhất.
Bài 5: (3 điểm)
Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn: xy + 2x = 27 – 3y.
----------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------
Họ và tên thí sinh :.
Số báo danh :
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
1
(4đ)
1
A = 
= 1
0,5
0,25
0,75
0,25
0,25
2
 a/ ĐKXĐ 
B = 
b) Với 
 Mà
Dấu “ = “ xãy ra khi (tmđk)
Vậy giá trị lớn nhất của B là khi x = 0. 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(5đ)
1
0,5
+) Kí hiệu hình thang ABCD cần tìm như hình vẽ.
+) Tính được C(; D(
 BC = ; AD = 
+) 
a = 2 ( Thỏa ĐK a > 0) 
+) Vậy phương trình đường thẳng là y = 2x – 1.
0,5
0,5
0,25
0,25
2
+) Ta có 
+) Do đó 
Thay vào ta được x = y = ; z =
Khi đó P = 
0,25
0.25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
3
(5đ)
a
+) Tứ giác DCEH có 
Tứ giác DCEH nội tiếp ( cùng chắn cung HD)
*BDE và BHC có và chung.
BDE đồng dạng BHC (g.g)
 (*)
*Chứng minh tương tự đẳng thức (*)ta được : CH.CF = CD.CB (**)
Cộng (*) và (**) theo vế ta được:
BH.BE + CH.CF = BC.BD + CD.CB
 = (BD + CD).BC
 = BC.BC = BC2 (1)
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
b
+) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
BH.BE + AH.AD = AB2 (2) và AH.AD + CH.CF = AC2 (3)
+) Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được:
2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) = AB2 + AC2 + BC2
 AH.AD + BH.BE + CH.CF = .
0,5
0.75
0.25
c
+) Ta có: ( cùng chắn cung MC)
 ( cùng phụ )
Nên BC là phân giác 
*MBH có BC là đường cao đồng thời là đường phân giác nên là tam giác cân tại B
BC đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh MH.
D là trung điểm của MH.
DM = DH.
*Ta có (*)
BHC và ABC có chung đáy BC nên ta có (**)
Từ (*) và (**) suy ra : (1)
Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được:
 (2) và (3)
Công (1) (2) và (3) theo vế ta được :
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3đ)
+) IND vuông tại I có IN = ID (gt)
IND vuông cân tại I
* Chứng minh tương tự ta được IMC vuông cân tại I 
LCD có 
 LCD vuông cân tại L
DLMC
Mà MI CD (gt)
DL và MI là hai đường cao của CDM cắt nhau tại N
N là trực tâm CDM
CNMD hay CKMD
 CNI và MNK có:
 (đđ)
CNI đồng dạngMNK (g-g)
CN.NK = MN.NI
Ta có: MN.NI = (MI – NI).NI = ( CI – ID).ID = (CD – ID – ID).ID
 Đặt ID = x; x > 0 ta được:
MN.NI = (6 – 2x).x = 6.x – 2x2 = 
Dấu “ = “ xảy ra khi x = (TMĐK x > 0)
Vậy CN. NK có giá trị lớn nhất là khi ID = cm. 
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
5
(3đ)
Ta có: xy + 2x = 27 – 3y
 hoặchoặchoặc 
do x > 0, y > 0.
(loại)hoặc(loại)hoặc(loại)hoặc(tđk)
Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là (x; y) = (8;1)
0,5
0,25
1,0
1,0
0,25
Vì trình độ có hạn và dạy ở trên núi không có điều kiện nghiên cứu và trình độ công nghệ thông tin còn hạn chế ,công tác ở một xã nghèo ,ít tiếp cận với mạng INTERNET ,bản thân chỉ học xong hệ Cao Đẳng Sư Phạm đang dạy hợp đồng cho 1 trường trên núi , mức tiền là 15000 đồng /tiết dạy và nên bài viết chưa được hoàn thiện tốt lắm .Mong đồng nghiệp góp ý đề bài viết này tốt hơn nhé .
Xin mời các bạn giải bài toán sau với nhiều cách giải nhé .Mong nhận được các lời giải của bạn đọc tạp chí toán tuổi trẻ để tôi học hỏi và giao lưu nhé .Đối với tôi bài này thì các bài toán trên có thể giải bằng 13 cách .Các bạn hãy nghiên cứu thêm các cách giải khác nhé và bản thân tôi đang tìm thêm cách giải .
Người yêu toán ở Quảng Ngãi 
Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi 
Trương Quang An