Kỳ sơ tuyển chọn đội tuyển thi HSG tỉnh lớp 9 năm học 2013-2014 môn: Toán học - TX Hoàng Mai

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI
KỲ SƠ TUYỂN CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HSG TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN HỌC.
(Đề thi gồm 01 trang) 	Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề).
	 	 ----------------------
Câu 1. (4,5 điểm).
a. Cho biết .
Tính giá trị của biểu thức Q = 
b. Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện không chia hết cho 3. Chứng minh rằng không là số chính phương.
Câu 2. (4,5 điểm).
Giải phương trình: 
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: . 
Câu 3. (4 điểm).
a. Cho biểu thức: 
	Tìm để nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
b. Cho ba số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng: 
Câu 4. (6 điểm).
Cho hình thoi có độ dài cạnh bằng và . Đường thẳng qua cắt tia đối của tia ở và .
Chứng minh rằng: không đổi.
Chứng minh rằng: 
Gọi là giao điểm của và . Tính .
Câu 5. (1 điểm).
 	Cho tam giác có đường cao ( nằm giữa hai điểm và ). Cho biết và số đo góc gấp ba lần số đo góc .
Tính diện tích tam giác .
-------Hết-------
Họ và tên thí sinh:.SBD:
HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GD&ĐT TX HOÀNG MAI
KỲ SƠ TUYỂN CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HSG TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: TOÁN.
Câu 
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,5 đ)
a
2,5 đ
Ta có : 
=> => Q = 1
1
1,5
b
2 đ
Ta có: không chia hết cho 3 không chia hết cho 3 
Khi đó: = chia cho 3 dư 2.
mà số chính phương chia cho 3 không thể dư 2 nên không là số chính phương.
1
0,5
0,5
Câu 2
(4,5 đ)
a
2,5 đ
Đặt (đk y > 0) phương trình đã cho trở thành:
+) Nếu phương trình vô nghiệm
+) Nếu 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -1
1
1
0,5
b
2 đ
.
Từ đó tìm được 
1
1
Câu 3
(4 đ)
a
2 đ
 = 
 = 
 = 
vậy GTNN của A = 2013 
1
1
b
2 đ
Với 2 số thực dương a, b ta có: (*)
Thậtvậy: 
 đúng với a,b > 0.
Áp dụng BĐT (*) ta có: (1)
Tương tự ta có: (3)
Từ (1); (2); (3) ta có ĐPCM
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(6 đ)
a
2 đ
Xét và có: 
 (không đổi)
1
1
b
2đ
Xét có và nên là tam giác đều 
Từ kết quả câu a) ta có: 
Xét có: 
1
1
c
2đ
Vì .
 và có chung 
1
1
Câu 5
1 đ
1
Ta có: 
Trên tia HC lấy điểm D sao cho . Khi đó AD là tia phân giác của , suy ra BD = 2.BH = 6cm và 
Trong tam giác vuông HAC có 
Giải ra ta được suy ra BC = 36 cm
Vậy diện tích tam giác ABC là 
Lưu ý: Nếu thí sinh làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.