Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 tỉnh Bình Định ( khóa ngày 18 - 3 – 2017)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11 TỈNH BÌNH ĐỊNH
( Khóa ngày 18 - 3 – 2017)
Lê Quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát 
Bài 1 : (6 điểm) 
a) Giải phương trình : 
b) Chứng minh rằng : 
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện : 
Biến đổi : 
Đặt , phương trình : ó ó t=1
Khi đó : ó 
b) Ta có ( Cauchy –Schwarz)
Mà nên 
Bài 2 : ( 3 điểm ) Cho dãy số : xác định bởi 
Đặt , Tính 
Hướng dẫn giải
Ta có : 
 ó , Đặt , ta có , Giả sử là hữu hạn => vô lý nên ,Khi đó : => 
Bài 3 : ( 4 điểm ) Từ tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 , lấy ngẫu nhiên một số . Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra được tạo bởi đúng 3 chữ số khác nhau .
Giải :
Số có 5 chữ số : ,Gọi A là biến cố “ số được chọn có đúng 3 chữ số khác nhau”: ,Xác suất cần tìm là : 
Bài 4 : Cho tam giác ABC , có ba góc nhọn ,(AB<AC) và đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H, P là giao điểm của đường phân giác trong góc A và BC , M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác APD với CA, AB , Chứng minh rằng : 
a) Các đường thẳng AD,BM,CN đồng quy .
b) 
Hướng dẫn giải
a) Ta có : DB=ADcotB , DC=ADcotC=> 	
 MC = PM.cotC; MA = PM.cot=> 
 NA = PN.cot; NB = PN.cotB => 
Khi đó : ( xe-va)
b) Ta có : ,, 
Bài 5 : Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình bình hành , M là trung điểm SC , (P) chứa AM cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’ khác C , Chứng minh rằng : 
Giải : 
Gọi O là giao điểm của AC,DB và I là giao điểm của AM, SO :Khi đó : 
Xét tam giác SBD : , 
 =>