Hình học 8 - Chương I: Tứ giác

Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 1
I. TỨ GIÁC 
VẤN ĐỀ I. Sử dụng tính chất về các góc của một tứ giác để tính góc 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có   B C D0 0 0120 , 60 , 90   . Tính góc A và góc ngoài tại đỉnh A. 
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD,  C A0 060 , 100  . 
 a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD. b) Tính  B D, . 
 ĐS: b)  B D 0100  . 
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E, phân giác 
ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F. Chứng minh: 
 C DAEB
2

 và 
 A BAFB
2

 . 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có  B D CB CD0180 ,   . Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao 
cho DE = AB. Chứng minh: 
 a) Các tam giác ABC và EDC bằng nhau. 
 b) AC là phân giác của góc A. 
Bài 5. Cho tứ giác ABCD biết số đo của các góc    A B C D, , , tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 và 10. 
 a) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD. 
 b) Kéo dài hai cạnh AB và DC cắt nhau ở E, kéo dài hai cạnh AD và BC cắt nhau ở F. 
Hai tia phân giác của các góc AED và góc AFB cắt nhau ở O. Phân giác của góc AFB 
cắt các cạnh CD và AB tại M và N. Chứng minh O là trung điểm của đoạn MN. 
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có  B D 0180  , AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh CB 
= CD. 
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có  A C, a b . Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, hai 
đường thẳng AB và DC cắt nhau tại F. Các tia phân giác của hai góc AEB và AFD cắt 
nhau tại I. Tính góc EIF theo ,a b . 
VẤN ĐỀ II. Sử dụng bất đẳng thức tam giác 
để giải các bài toán liên hệ đến các cạnh của một tứ giác 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: 
 a) AB BC CD AD   b) AC BD AB BC CD AD     . 
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB BD AC CD   . Chứng minh: AB AC . 
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 
 a) Chứng minh: AB BC CD AD OA OB OC OD AB BC CD AD
2
  
        . 
 b) * Khi O là điểm bất kì thuộc miền trong của tứ giác ABCD, kết luận trên có đúng 
không? 
Bài 4. Chứng minh rằng trong một tứ giác thì: 
 a) Tổng độ dài 2 cạnh đối diện nhỏ hơn tổng độ dài hai đường chéo. 
 b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác. 
II. HÌNH THANG – HÌNH THANG VUÔNG 
CHƯƠNG I: TỨ GIÁC 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 2
1. Định nghĩa: 
  Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. 
  Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 
2. Tính chất: 
  Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh 
đáy bằng nhau. 
  Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng 
nhau. 
VẤN ĐỀ I. Tính chất các góc của một hình thang 
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có    A D B C020 , 2   . Tính các góc của hình 
thang. 
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, BDC 030 . Tính 
các góc của hình thang. 
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD. Chứng minh rằng:    A B C D   . 
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường phân giác của góc A và B cắt nhau tại 
điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh AD + BC = DC. 
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD). 
 a) Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F 
của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy. 
 b) Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt 
nhau tại trung điểm của cạnh bên BC. 
Bài 6. Cho hình thang ABCD có  A B 090  và ADBC AB
2
  . Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ 
BC. Kẻ Mx  MA, Mx cắt CD tại N. Chứng minh rằng tam giác AMN vuông cân. 
VẤN ĐỀ II. Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh 
ABCD là hình thang. 
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AM BC1
2
 , N 
là trung điểm cạnh AB. Chứng minh: 
 a) Tam giác AMB cân. 
 b) Tứ giác MNAC là hình thang vuông. 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Từ H kẻ HD  AC, HE  AB. 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB, HC. Chứng minh tứ giác 
DEMN là hình thang vuông. 
III. HÌNH THANG CÂN 
1. Định nghĩa: 
 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 
2. Tính chất: Trong hình thang cân: 
  Hai cạnh bên bằng nhau. 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 3
  Hai đường chéo bằng nhau. 
3. Dấu hiệu nhận biết: 
  Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. 
  Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 
VẤN ĐỀ I. Sử dụng tính chất của hình thang cân để tính toán và chứng minh 
Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Kẻ các đường cao AE, BF của 
hình thang. Chứng minh rằng DE = CF. 
Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). 
 a) Chứng minh:  ACD BDC . 
 b) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: EA EB . 
Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD a ,    A B C D1 ( )
2
   . 
Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. 
 a) Tính các góc của hình thang. 
 b) Chứng minh AC là phân giác của góc DAB . 
 c) Tính diện tích của hình thang. 
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có BDC 045 . Gọi O là giao điểm của AC và 
BD. 
 a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân. 
 b) Tính diện tích của hình thang ABCD, biết BD = 6 (cm). 
 ĐS: b) S cm218( ) . 
VẤN ĐỀ II. Chứng minh một tứ giác là hình thang cân 
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D  AC, E  AB). 
Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. 
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có  ACD BDC . Chứng minh rằng ABCD là hình 
thang cân. 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy lần lượt các điểm D và E 
sao cho AD = AE. 
 a) Chứng minh BDEC là hình thang cân. 
 b) Tính các góc của hình thang cân đó, biết A 050 . 
 ĐS: b)    B C CED BDE0 065 , 115    . 
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song 
với AC cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh: 
 a) Tam giác BDE là tam giác cân. 
 b) Các tam giác ACD và BDC bằng nhau. 
 c) ABCD là hình thang cân. 
Bài 5. Cho tam giác đều ABC và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Qua M kẻ đường 
thẳng song song với BC cắt AB ở D, đường thẳng song song với AC cắt BC ở E, 
đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Chứng minh: 
 a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF là các hình thang cân. 
 b) Chu vi của tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh của tam giác 
ABC. 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 4
 c)   DME DMF EMF  . 
 ĐS: c)   DME DMF EMF 0120   . 
Bài 6. Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vuông góc với cạnh 
bên CD,  BAC CAD và D 060 . 
 a) Chứng minh ABCD là hình thang cân. 
 b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang bằng 20 cm. 
 ĐS: b) AD cm8( ) . 
IV. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 
1. Đường trung bình của tam giác: 
  Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. 
  Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai 
thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. 
  Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. 
2. Đường trung bình của hình thang 
  Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình 
thang. 
  Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai 
đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. 
  Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 
Bài 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E sao cho AD = 
DE = EB. Gọi I là giao điểm của AM với CD. Chứng minh: AI = IM. 
Bài 2. Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần 
lượt là trung điểm của BG, CG. Chứng minh tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song 
song và bằng nhau. 
Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB 
lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I. 
Chứng minh rằng: DEDI
3
 . 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có góc C 040 , D 080 , AD = BC. Gọi E, F theo thứ tự là trung 
điểm của AB và CD. Tính góc nhọn tạo bởi đường thẳng FE với các đường thẳng 
AD và BC. 
Bài 5. Cho A, B, C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d (AB > BC). Trên cùng nửa mặt 
phẳng bờ là d, vẽ các tam giác đều AMB và BNC. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung 
điểm của BM, CM, BN, AN. Chứng minh: 
 a) PQRS là hình thang cân. 
 b) SQ MN1
2
 . 
Bài 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của 
BI và AC. 
 a) Chứng minh: AD DC1
2
 . 
 b) So sánh độ dài BD và ID. 
Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các 
đoạn thẳng AD, BC, AC, BD. 
 a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng. 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 5
 b) Tính MN, PQ, biết các cạnh đáy của hình thang AB a CD b a b, ( )   . 
 c) Chứng minh rằng nếu MP = PQ = QN thì a b2 . 
Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, 
BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng. 
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. 
Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K. 
 a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID. 
 b) Cho AB = 6, CD = 10. Tính EI, KF, IK. 
Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC. 
 a) So sánh độ dài các đoạn thẳng EK và CD, KF và AB. 
 b) Chứng minh: AB CDEF
2

 . 
 c) Khi AB CDEF
2

 thì tứ giác ABCD là hình gì. 
 ĐS: c) ABCD là hình thang. 
Bài 11. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường 
chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10 cm. 
Bài 12. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d đi qua G cắt các đoạn 
thẳng AB, AC. Gọi A’, B’. C’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ 
giữa các độ dài AA’, BB’, CC’. 
Bài 13. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC. 
Gọi A’, B’. C’, G’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ 
dài AA’, BB’, CC’ , GG’. 
V. ĐỐI XỨNG TRỤC 
Bài 1. Cho góc xOy 050 và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox , 
điểm C đối xứng với A qua Oy . 
 a) So sánh các độ dài OB và OC. 
 b) Tính số đo góc BOC . 
 ĐS: b) BOC 0100 . 
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. 
 a) Chứng minh hai tam giác BHC và BKC bằng nhau. 
 b) Cho BAC 070 . Tính số đo góc BKC . 
 ĐS: b) BKC 0110 . 
Bài 3. Cho hình thang vuông ABCD ( A D 090  ). Gọi K là điểm đối xứng với B qua AD, 
E là giao điểm của CK và AD. Chứng minh  CED AEB . 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là điểm đối xứng 
với điểm H qua các cạnh AB, AC. Chứng minh: 
 a) Ba điểm I, A, K thẳng hàng. 
 b) Tứ giác BIKC là hình thang. 
 c) IK AH2 . 
Bài 5. Cho tam giác ABC, các phân giác BM và CN cắt nhau tại I. Từ A vẽ các đường 
vuông góc với BM và CN, chúng cắt BC thứ tự ở E và F. Gọi I là hình chiếu của I 
trên BC. Chứng minh rằng E và F đối xứng nhau qua II. 
Bài 6. Cho hai điểm A, B nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tìm điểm 
M d sao cho MA MB ngắn nhất. 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 6
Bài 7. Cho góc xOy 060 và điểm A nằm trong góc đó. Gọi B, C lần lượt là hai điểm đối 
xứng với điểm A qua Ox Oy, . 
 a) Chứng minh tam giác BOC là tam giác cân. Tính các góc của tam giác đó. 
 b) Tìm điểm I Ox và điểm K Oy sao cho tam giác AIK có chu vi nhỏ nhất. 
 ĐS: a)   BOC OBC OCB0 0120 , 30   b) I, K là giao điểm của đường thẳng BC 
với các tia Ox và Oy. 
Bài 8. Cho tam giác ABC, Cx là phân giác ngoài của góc C. Trên Cx lấy điểm M (khác C). 
Chứng minh rằng: MA + MB > CA + CB. 
Bài 9. Cho góc nhọn xOy và điểm A ở trong góc đó . Tìm điểm B ở trên tia Ox và điểm C 
ở trên tia Oy sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất. 
VI. HÌNH BÌNH HÀNH 
1. Định nghĩa: 
 Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song. 
2. Tính chất: Trong hình bình hành: 
  Các cạnh đối bằng nhau. 
  Các góc đối bằng nhau. 
  Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
3. Dấu hiệu nhận biết: 
  Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. 
  Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. 
  Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. 
  Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. 
VẤN ĐỀ I. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học 
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. 
 a) Chứng minh BE DF và  ABE CDF . 
 b) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành. 
 c) Chứng minh các đường thẳng EF, DB và AC đồng qui. 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân 
giác của góc B cắt CD ở F. 
 a) Chứng minh DE BF . b) Tứ giác DEBF là hình gì? 
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB vad CD, 
M và N là giao điểm của AI và CK với BD. 
 a) Chứng minh: AI CK . b) Chứng minh: DM MN NB  . 
VẤN ĐỀ II. Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình 
hành 
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH vuông góc với BD ở H, CK 
vuông góc với BD ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua 
điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F, vẽ đường 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 7
thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình 
bình hành. 
Bài 3. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC 
cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF. 
 a) Chứng minh tam giác AED cân. b) Chứng minh AD là phân giác của góc A. 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, 
DA và I, K là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh: 
 a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành. 
 b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui. 
Bài 5. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, 
vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. 
 a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành. 
 b) Tính số đo góc BDC , biết BAC 060 . 
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, AD AB2 . Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với 
trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC tại N. 
 a) Tứ giác MNCD là hình gì? b) Tam giác EMC là tam giác gì? 
 c) Chứng minh:  BAD AEM2 . 
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC; M, N, 
P, Q lần lượt là trung điểm của AE, EC, CF, FA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình 
bình hành. 
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = 
FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh 
rằng: 
 a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. b) EMFN là hình bình hành. 
Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD, có  A B 090  và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với 
BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD. Chứng minh rằng: CI  AI. 
Bài 10. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, 
E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung 
điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng: các đoạn thẳng EL, FM và DN 
đồng qui. 
VII. ĐỐI XỨNG TÂM 
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua A, F là điểm đối xứng 
với D qua C. Chứng minh: 
 a) AC EF . b) Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B. 
Bài 2. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BD, CE. Gọi H là điểm đối xứng với B qua D, K 
là điểm đối xứng với C qua E. Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm 
A. 
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD và điểm E trên cạnh AB, I và K là các trung điểm của 
cạnh AD và BC. Gọi các điểm M, N lần lượt đối xứng với điểm E qua điểm I và 
điểm K. 
 a) Chứng minh các điểm M, N thuộc đường thẳng CD. 
 b) Chứng minh MN CD2 . 
Bài 4. Cho góc vuông xOy , điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua 
Ox , C là điểm đối xứng với A qua Oy . Chứng minh B đối xứng với C qua O. 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 8
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi 
qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh điểm M đối xứng 
với điểm N qua O. 
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng là O, một điểm E ở trên đoạn OD. Gọi F 
là điểm đối xứng của điểm C qua E. 
 a) Chứng minh tứ giác ODFA là hình thang. 
 b) Xác định vị trí điểm E trên OD để hình thang ODFA là hình bình hành. 
Bài 7. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của 
A, B, C qua tâm G. 
 a) Chứng minh tứ giác BPNC là hình bình hành. 
 b) Chứng minh các tam giác ABC, MNP bằng nhau. 
 c) Chứng minh các tam giác ABC, MNP có cùng trọng tâm. 
Bài 8. Cho tam giác ABC, H là trực tâm, I là giao điểm các đường trung trực. K là điểm đối 
xứng với H qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh K đối xứng với A qua I. 
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên 
AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF. 
 a) Chứng minh E đối xứng với F qua O. 
 b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K. Chứng minh rằng: EF 
= FK; I và K đối xứng với nhau qua O. 
Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua C, B' là điểm đối 
xứng với B qua A, C' là điểm đối xứng với C qua B. Gọi BM là trung tuyến của tam 
giác ABC, B'M' là trung tuyến của tam giác A'B'C'. 
 a) Chứng minh rằng ABM'M là hình bình hành. 
 b) Gọi G là giao điểm của BM và B'M'. Chứng minh rằng G là trọng tâm của hai tam 
giác ABC và tam giác A'B'C'. 
VIII. HÌNH CHỮ NHẬT 
1. Định nghĩa: 
 Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 
2. Tính chất: 
 Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi 
đường. 
3. Dấu hiệu nhận biết: 
  Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. 
  Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. 
  Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. 
  Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 
4. Áp dụng vào tam giác: 
  Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 
  Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam 
giác đó là tam giác vuông. 
VẤN ĐỀ I. Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật 
Bài 1. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng 
với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN 
cắt HE tại G và K. 
Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học 8 
 Trang 9
 a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật. 
 b) Chứng minh HG = GK = KE. 
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ 
tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? 
 ĐS: EFGH là hình chữ nhật. 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông 
cân ADB (DA = DB) và ACE (EA = EC). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao 
điểm của DM với AB, K là giao điểm của EM với AC. Chứng minh: 
 a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. 
 b) Tứ giác IAKM là hình chữ nhật. 
 c) Tam giác DME là tam giác vuông cân. 
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung 
điểm các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC. 
 a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. 
 b) Chứng minh tứ giác ABPN là hình thang cân. 
 c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa