Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Phương pháp chung:
*/ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm:
	- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
	- Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua các ẩn số và các đại lượng đã biết.
	- Từ đó lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng.
*/ Bước 2: Giải hệ phương trình:
Giải hệ phương trình vừa lập được.
*/ Bước 3: Trả lời:
	Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi trả lời.
B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: Toán về quan hệ giữ các số.
Phương pháp giải: 
Biểu diễn số có hai chữ số: 
a là chữ số hàng chục: 
b là chữ số hàng đơn vị: 
Biểu diễn số có ba chữ số: 
a là chữ số hàng trăm: 
b là chữ số hàng chục: 
c là chữ số hàng đơn vị: 
Bài tập1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
HD: 	
Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x 9).
Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x 9)
Số cần tìm có dạng = 10x + y
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 	(1)
Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: =100x +10y + x = 101x +10y
Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:
 (101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK) số cần tìm là 75.
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó.
HD: 
Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)
Theo đề bài ta có hệ pt: 
Giải hệ ta được: (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25.
Bài tập 3: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
HD: 
Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x 9)
Chữ số hàng đơn vị: 10 – x 
Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – 2 = 0
Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập 4: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
HD: 
Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị của số đã cho (x,y N, 0 < x,y 9)
Theo đề bài ta có: 
 Vậy số cần tìm là 24.
DẠNG 2: Toán làm chung công việc
Phương pháp giải: 
Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia: toàn bộ công việc, phần việc làm trong một đơn vị thời gian (năng suất), thời gian.
Năng suất làm việc: đưa về một đơn vị thời gian (chẳng hạn: 1 ngày, 1 giờ,....)
Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được công việc.
Xem toàn bộ công việc là 1.
Bài tập 1: Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
HD Giải:
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK 
Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)
Mỗi giờ người thứ nhất làm được(cv), người thứ hai làm được(cv)
Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được=(cv)
Do đó ta có phương trình
Û 5x2 – 14x – 24 = 0
D’ = 49 + 120 = 169, 
=> (loại) và (TMĐK)
Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ, 
 người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ.
Bài tập 2: Cho 3 voøi A, B, C cuøng chaûy vaøo 1 beå. Voøi A vaø B chaûy ñaày beå trong 71 phuùt Voøi A vaø C chaûy ñaày beå trong 63 phuùt. Voøi C vaø B chaûy ñaày beå trong 56 phuùt . 
a. Moãi voøi laøm ñaày beå trong bao laâu? Caû 3 voøi cuøng môû 1 luùc thì ñaày beå trong bao laâu ? 
b. Bieát voøi C chaûy 10lít ít hôn moãi phuùt so vôùi voøi A vaø B cuøng chaûy 1 luùc. Tính söùc chöùa cuûa beå vaø söùc chaûy cuûa moãi voøi ?
HD Giaûi:
a) Voøi A laøm ñaày beå trong x phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/x beå )
 Voøi B laøm ñaày beå trong y phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/y beå )
 Voøi C laøm ñaày beå trong z phuùt ( moãi phuùt laøm ñaày 1/z beå )
 Ta coù heä phöông trình : 
+/ Giaûi heä phöông trình ta ñöôïc : x=168 ; y=126 ; z=504/5
 Neáu 3 voøi cuøng môû 1 luùc thì sau moãi phuùt ñaày beå.
 3 voøi cuøng laøm ñaày beå sau : phuùt 
b)Goïi dung tích cuûa beå laø t phuùt thì moãi phuùt voøi C chaûy 5/504.t lít , voøi A vaø B chaûy lít .Theo ñeà baøi ta coù phöông trình : 
Söùc chaûy voøi A : 
Töông töï söùc chaûy voøi B : 
 	 söùc chaûy voøi C : 
Bài tập 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
HD GIẢI:
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).
Trong 1h, vòi 1 chảy được: (bể).
Trong 1h, vòi 2 chảy được: (bể).
Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 
 bể, do đó ta có pt: + = (1).
Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước nên ta có pt: + = (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I)
Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II).
Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK).
Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (không có nước) thì sau giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
HD GIẢI:
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > ).
Trong 1h, vòi 1 chảy được: (bể).
Trong 1h, vòi 2 chảy được: (bể).
Vì hai vòi nước cùng chảy trong giờ = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được bể, 
do đó ta có pt: + = (1).
Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước nên ta có pt: + = 1 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I)
Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II).
Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK).
Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?
HD GIẢI:
Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).
Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được (bể).
Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được (bể).
Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được bể, do đó nên ta có pt:
 x2 – 63x + 486 = 0.
Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).
Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.
DẠNG 3: Loại toán chuyển động.
Toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào là: vận tốc (v), thời gian (t), quãng đường (s) 
s = v.t
Gọi vận tốc thực của ca nô là (vận tốc khi ca nô chuyển động nơi nước yên lặng), vận tốc dòng nước là 
- Vận tốc ca nô khi ngược dòng: 
- Vận tốc ca nô khi xuôi dòng: .
Bài tập 1: Tìm vaän toác vaø chieàu daøi cuûa 1 ñoaøn taøu hoaû bieát ñoaøn taøu aáy chaïy ngang qua vaên phoøng ga töø ñaàu maùy ñeán heát toa cuoái cuøng maát 7 giaây. Cho bieát saân ga daøi 378m vaø thôøi gian keå töø khi ñaàu maùy baét ñaàu vaøo saân ga cho ñeán khi toa cuoái cuøng rôøi khoûi saân ga laø 25 giaây.
HD Giaûi:
+/ Goïi x (m/s)laø vaän toác cuûa ñoaøn taøu khi vaøo saân ga (x>0)
 Goïi y (m) laø chieàu daøi cuûa ñoaøn taøu (y>0)
+/ Taøu chaïy ngang ga maát 7 giaây nghóa laø vôùi vaän toác x (m/s) taøu chaïy quaõng ñöôøng y(m) maát 7 giaây.
Ta coù phöông trình : y=7x (1)
+/ Khi ñaàu maùy baét ñaàu vaøo saân ga daøi 378m cho ñeán khi toa cuoái cuøng rôøi khoûi saân ga maát 25 giaây nghóa laø vôùi vaän toác x (m/s) taøu chaïy quaõng ñöôøng y+378(m) maát 25giaây .
Ta coù phöông trình : y+378=25x (2)
+/ Kết hợp (1) với (2) ta ñöôïc heä phöông trình : 
+/ Giaûi ra ta coù : x=21 ; y= 147 (thoaû ÑKBT)
Vaäy vaän toác cuûa ñoaøn taøu laø 21m/s
 	 Chieàu daøi cuûa ñoaøn taøu laø : 147m
Bài tập 2: Moät chieác thuyeàn xuoâi, ngöôïc doøng treân khuùc soâng daøi 40km heát 4h30 phuùt. Bieát thôøi gian thuyeàn xuoâi doøng 5km baèng thôøi gian thuyeàn ngöôïc doøng 4km. Tính vaän toác doøng nöôùc ?
HD Giaûi:
+/ Goïi x (km/h)laø vaän toác cuûa thuyeàn khi nöôùc yeân laëng.
 Goïi y(km/h) laø vaät toác doøng nöôùc (x,y>0)
+/ Vì thôøi gian thuyeàn xuoâi doøng 5km baèng thôøi gian thuyeàn ngöôïc doøng 4km neân ta coù phöông trình : 
+/ Vì chieác thuyeàn xuoâi, ngöôïc doøng treân khuùc soâng daøi 40km heát 4h30 phuùt (=h) neân ta coù phöông trình : 
Ta coù heä phöông trình : 
+/ Giaûi ra ta coù : x=18 ; y= 2
Vaäy vaän toác doøng nöôùc laø 2 km/h
Bài tập 3: Treân moät ñöôøng troøn chu vi 1,2 m, ta laáy 1 ñieåm coá ñònh A. Hai điểm chuyeån ñoäng M , N chaïy treân ñöôøng troøn, cuøng khôûi haønh töø A vôùi vaän toác khoâng ñoåi. Neáu chuùng di chuyeån traùi chieàu nhau thì chuùng gaëp nhau sau moãi 15 giaây. Neáu chuùng di chuyeån cuøng chieàu nhau thì ñieåm M seõ vöôït N ñuùng 1 voøng sau 60 giaây. Tìm vaän toác moãi ñieåm M, N ? 
HD Giaûi:
+/ Goïi x(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm M
 Goïi y(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm N (x>y>0)
+/ Khi chuùng di chuyeån traùi chieàu nhau , chuùng gaëp nhau sau moãi 15 giaây neân ta coù phöông trình : 15x+15y=1,2 (1)
+/ Khi M,N di chuyeån cuøng chieàu nhau thì ñieåm M seõ vöôït N ñuùng 1 voøng sau 60 giaây neân ta coù phöông trình : 60x-60y=1 (2)
 Ta coù heä phöông trình : 
+/ Giaûi heä phöông trình ta coù x=0,05 ;y= 0,03 (thoaû ÑKBT)
Vaäy vaän toác ñieåm M laø : 0,05m/s vaø vaän toác ñieåm N laø : 0,03m/s
Bài tập 4: Moät chieác moâtoâ vaø oâtoâ cuøng ñi töø M ñeán K vôùi vaän toác khaùc nhau .Vaän toác moâtoâ laø 62 km/h coøn vaän toác oâtoâ laø 55 km/h . Ñeå 2 xe ñeán ñích cuøng 1 luùc ngöôøi ta ñaõ cho oâtoâ chaïy tröôùc 1 thôøi gian. Nhöng vì 1 lí do ñaëc bieät neân khi chaïy ñöôïc 2/3 quaõng ñöôøng oâtoâ buoäc phaûi chaïy vôùi vaän toác 27,5 km/h. Vì vaäy khi coøn caùch K 124km thì moâtoâ ñuoåi kòp oâtoâ. Tính khoaûng caùch töø M ñeán N .
HD Giải:
+/ Goïi khoaûng caùch MK laø x km 
 Goïi thôøi gian döï ñònh oâtoâ ñi tröôùc moâtoâ laø y (giôø) 
+/ Ta coù : 
+/ Giaûi heä naøy ta ruùt ra : x= 514km ; 
DẠNG 4: Các dạng khác.
Bài tập 1: Nhaân ngaøy 1/6 moät phaân ñoäi thieáu nieân ñöôïc taëng moät soá keïo. Soá keïo naøy ñöôïc chia heát vaø chia ñeàu cho caùc ñoäi vieân. Ñeå ñaûm baûo nguyeân taéc chia aáy, phaân ñoäi tröôûng ñeà xuaát caùch nhaän quaø nhö sau: 
 Baïn thöù nhaát nhaän 1 caùi keïo vaø 1/11 soá keïo coøn laïi. Cöù tieáp tuïc nhö theá ñeán baïn cuoái cuøng thöù n nhaän nhaän n caùi keïo vaø 1/11 soá keïo coøn laïi. 
 Hoûi phaân ñoäi thieáu nieân noùi treân coù bao nhieâu ñoäi vieân ? Moãi ñoäi vieân nhaän ñöôïc bao nhieâu caùi keïo ? 
HD Giaûi:
+/ Goïi soá ngöôøi trong phaân ñoäi laø a 
 Soá keïo trong phaân ñoäi ñöôïc taëng laø x (a,x>0)
+/ Ngöôøi thöù nhaát nhaän ñöôïc : (keïo )
 Ngöôøi thöù hai nhaän ñöôïc : (keïo )
+/ Vì hai soá keïo baèng nhau vaø coù a ngöôøi neân ta coù : 
+/ Giaûi heä naøy ta ñöôïc x=100 ; a=10
Bài tập 2: 12 ngöôøi aên 12 caùi baùnh. Moãi ngöôøi ñaøn oâng aên 2 chieác, moãi ngöôøi ñaøn baø aên 1/2 chieác vaø moãi em beù aên 1/4 chieác. Hoûi coù bao nhieâu ngöôøi ñaøn oâng, ñaøn baø vaø treû em 
HD Giaûi:
+/ Goïi soá ñaøn oâng , ñaøn baø vaø treû em laàn löôït laø x,y,z.(Đơn vị: Người, x,y,z laø soá nguyeân döông vaø nhoû hôn 12) 
+/ Soá baùnh hoï laàn löôït aên heát laø : 2x ; y/2 ; z/4 (Bánh)
+/ Theo ñeà baøi ta coù heä phöông trình : 
+/ Laáy (2) tröø (1) ta ñöôïc : 6x-z=24 (3) 
Vì x, z , 6x vaø 24 chia heát cho 6 , z cuõng chia heát cho 6 .Keát hôïp vôùi ñieàu kieän 0<z<12 z=6.
	Thay z=6 vaøo (3) ta ñöôïc x=5 , töø ñoù y=1
Vaäy coù 5 ñaøn oâng , 1 ñaøn baø vaø 6 treû em
Bài tập 3: Moät dung dòch chöùa 30% axit nitôric (tính theo theå tích ) vaø moät dung dòch khaùc chöùa 55% axit nitôric. Caàn phaûi troän theâm bao nhieâu lít dung dòch loaïi 1 vaø loaïi 2 ñeå ñöôïc 100lít dung dòch 50% axit nitôric?
HD Giaûi:
+/ Goïi x,y theo thöù töï laø soá lít dung dòch loaïi 1 vaø 2 (Đơn vị: Lít, x,y>0) 
 Löôïng axit nitôric chöùa trong dung dòch loaïi 1 laø vaø loaïi 2 laø 
+/ Ta coù heä phöông trình : 
+/ Giaûi heä naøy ta ñöôïc : x=20 ;y=80
340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.
HD: 
Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)
Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1).
Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK).
Bài tập 4: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.
HD GIẢI:
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5).
Theo đề bài ta có hệ pt: 
 Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.
Bài tập 5: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài các cạnh góc vuông.
HD GIẢI:
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).
Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).
Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: xy = 6 xy = 12 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
 ( vì x, y > 0)
Giải hệ pt ta được hoặc (thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
 Bµi 1: Hai ngêi ®i xe ®¹p xuÊt ph¸t cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. VËn tèc cña hä h¬n kÐm nhau 3 km/h nªn hä ®Õn B sím muén h¬n nhau 30phót. TÝnh vËn tèc cña mçi 
người, biÕt qu·ng ®êng AB dµi 30 km.
 Bµi 2: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A. Sau 5h30p mét ca n« ®uæi theo vµ ®uæi kÞp thuyÒn t¹i mét ®Þa ®iÓm c¸ch bÕn s«ng A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn biÕt vËn tèc cña ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn lµ 12km/h.
 Bµi 3: Hai ngêi ®i xe ®¹p khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai ®Þa ®iÓm A, B c¸ch nhau 54 km, ®i ngîc chiÒu nhau vµ gÆp nhau sau 2h. TÝnh vËn tèc cña hai ngêi ®ã biÕt r»ng vËn tèc cña ngêi ®i tõ A b»ng vËn tèc cña ngêi ®i tõ B.
 Bµi 4: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 50 km. Sau ®ã 1h30p, mét ngêi ®i xe m¸y còng ®i tõ A ®Õn B vµ ®Õn B tríc ngêi ®i xe ®¹p 1h. TÝnh vËn tèc cña mçi xe biÕt vËn tèc cña xe m¸y gÊp 2,5 lÇn vËn tèc xe ®¹p.
 Bµi 5: Mét «t« chuyÓn ®éng ®Òu víi vËn tèc ®· ®Þnh ®Ó ®i hÕt qu·ng ®êng 120km. §i ®îc nöa qu·ng ®êng, xe nghØ 3p nªn ®Ó ®Õn n¬i ®óng giê xe ®· ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6km/h trªn nöa qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®êng.
 Bµi 6: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Khi cßn c¸ch B 30 km, ngêi ®ã nhËn thÊy r»ng sÏ ®Õn B muén nöa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®¹ng ®i, nhng nÕu t¨ng vËn tèc thªm 5km/h th× sÏ ®Õn B sím nöa giê. TÝnh vËn tèc cña xe trªn qu·ng ®êng ®i lóc ®Çu.
 Bµi 7: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 33 km víi vËn tèc x¸c ®Þnh. Khi tõ B trë vÒ A ngêi Êy ®i b»ng con ®êng kh¸c dµi h¬n tríc 29 km nhng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i 3km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i 1h30p.
 Bµi 8: Hai bÕn s«ng A, B c¸ch nhau 40 km. Cïng mét lóc víi ca n« xu«i bÕn tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A víi vËn tèc 3km/h. Sau khi ®Õn bÕn B, ca n« trë vÒ bÕn A ngay vµ gÆp bÌ khi ®· tr«i ®îc 8km. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n«, biÕt r»ng vËn tèc riªng cña ca n« kh«ng ®æi.
 Bµi 9: Mét ca n« ch¹y xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B, råi l¹i ch¹y ngîc dßng tõ bÕn B trë vÒ bÕn A mÊt tÊt c¶ 4h. tÝnh vËn tèc cña can« khi níc yªn lÆng, biÕt qu·ng s«ng AB dµi 30km vµ vËn tèc cña dßng níc lµ 4km/h.
 Bµi 10: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 134m. nÕu gi¶m mçi kÝch thíc cña vên ®i 1m th× diÖn tÝch cña vên b»ng diÖn tÝch cña h×nh vu«ng cã c¹nh b»ng 28m. TÝnh c¸c kÝch thíc cña h×nh ch÷ nhËt ®ã.
 Bài 11: Một hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 1cm. Nếu tăng thêm chiều dài ¼ của nó thì diện tích hình chữ nhật đó tăng thêm 3cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu?
 Bài 12: Một hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu bớt mỗi chiều đi 5 mét thì diện tích chỉ còn 1276m2. Tìm độ dài mỗi chiều? Vận tốc điểm A hơn điểm B là 2,5cm/phút. Tìm vận tốc của mỗi điểm? Tính các chiều của công viên?
 Bài 13: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành tại một địa điểm về hai hướng vuông góc với nhau. Sau 2 giờ họ cách nhau 60km theo đường chim bay. Tìm vận tốc của mỗi người. Biết rằng vận tốc của người này hơn vận tốc người kia là 6km/h.
 Bài 14: Một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 150km. Nếu mỗi giờ xe tăng thêm 10km thì đến B sớm hơn thời gian dự định là 30 phút. Tìm vận tốc ban đầu?
 Bài 15: Hai tỉnh A và B cách nhau 42km. Một chiếc tàu đi từ tỉnh nọ đến tỉnh kia. Khi đi ngược dòng sông từ A tới B thì vận tốc của nó nhỏ hơn vận tốc lúc xuôi dòng là 4km/h. Tính vận tốc của chiếc tàu khi xuôi dòng và khi ngược dòng, biết rằng thời gian ngược dòng nhiều hơn thời gian xuôi dòng là 1 giờ 12 phút.
 Bài 16: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
 Bài 17: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20’ một chiếc cano chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng cano chạy nhanh hơn thuyền 12km.
 Bài 18: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi.