Đề thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông thành phố Hồ Chí Minh năm học: 2014-2015 môn thi: Toán chuyên

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 1/ 5 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHO Å THÔNG 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC: 2014-2015 
 Môn Thi : TOÁN CHUYÊN 
 Ngày thi: 22-6- 2014 
 Thời gian làm bài : 150 phút 
Câu 1: (2 điểm) 
a) Giải phương trình: x 2x 3 3x 4   
b) Cho ba số thực x, y, z thỏa điều kiện x y z 0   ; xyz 0 
Tính giá trị của biểu thức 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z
P
y z x z x y x y z
  
     
Câu 2: (1.5 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
2
1 9
x y
y x
4 4y
x y
x x

  


   

Câu 3: (1.5 điểm) 
Cho tam giác ABC đều và M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của M lên AB và AC. Xác định vị trí của M để tam giác MDE có chu vi nhỏ 
nhất. 
Câu 4: (2 điểm) 
a) Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng : 
2 2
2 2
x y x y
y xy x
   
b) Cho a, b là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 
2 2
a 3ab b
P
ab a b
 


Câu 5: (2 điểm) 
Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các 
tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB và OM; I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI 
cắt (O) tại điểm K (K khác A) 
a) Chứng minh HK vuông góc AI. 
b) Tính số đo góc MKB. 
Câu 6 (1điểm) 
Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:    2 22015 x y 2014 2xy 1 25    
  HẾT 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 2/ 5 
 HƯỚNG DẪN GIẢI: 
Bài 1: 
a) x 2x 3 3x 4   
Điều kiện
3
:x
2
 
Với điều kiện trên, phương trình trở thành: 
    
2
2 3 2 2
x 2x 3 3x 4 2x 3x 9x 24x 16        
3 2 3 2
2x 12x 24x 16 0 x 6x 12x 8 0          
 
3
x 2 0 x 2(nhận)     
 VậyS 2 . 
 b) Cho ba số thực x, y, z thỏa điều kiện x y z 0   ; xyz 0 
Tính giá trị của biểu thức 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z
P
y z x z x y x y z
  
     
Ta có:    
2 2
x y z 0 y z x y z x           
2 2 2 2 2 2
y 2yz z x y z x 2yz         
Chứng minh tương tự : 
2 2 2 2 2 2
z x y 2zx; x y z 2xy        
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z
P
y z x z x y x y z
  
     
2 2 2 2 3 3
x y z x y z
2yz 2zx 2xy 2xyz
  
   
  
 3 3 3x y z 3xyz 3xyz 3xyz 3
2xyz 2xyz 2
      
   
(Áp dụng bài toán phụ: 
3 3 3
x y z 0 x y z 3xyz 0        ) 
Bài 2: 
2
1 9
x y
y x
4 4y
x y
x x

  


   

 ĐK: x 0; y 0  
2 2
1 4 9 4y 4y 5 1
0
y x x x yx x
1 9 1 9
x y x y
y x y x
 
      
 
  
      
  
2
4 y 1 14y 4 1 1
1 00
x x y xx x yx
1 9 1 9
x y x y
y x y x
    
           
       
      
  
 
2
4 y x x y 1 4
0 x y 0
x x xy xy x
1 9 1 9
x y x y
y x y x
       
          
        
      
  
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 3/ 5 
 
2
x y
1 9x yx 4y
x yx y 0
y xx 4yx y
x 4y1 9 1 9
x y x y
y x y x 1 9
x y
y x
 

                      
               

2
x y x y
x y x y
TH1: x y 21 9 1 9
x y x 22x 8 0x x
y x x x
   
     
        
          

x 4y x 4y x 4y
TH2 : 1 9 1 9 1 9
x y 4y y 5y 0
y x y 4y y 4y
    
  
   
          
  
2 2
x 4y x 2
x 4y
1 1
2y 5 0 y y
4 2
   
   
    
      
 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:      
1 1
x;y 2;2 , 2; 2 , 2; , 2;
2 2
   
       
   
Bài 3: 
D
E
HB C
A
M
Xác định vị trí của M để MDE có chu vi nhỏ nhất 
Dễ thấy tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM  ADE nội tiếp đường tròn 
đường kính AM DE AM.sinBAC (địnhlýhàmsin)  
0
3
DE AM.sin60 AM.
2
   
Mặt khác: 
0
0
3
DM BM.sinABC BM.sin60 BM
2
3
ME MC.sinACB MC.sin60 MC
2

  



  
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 4/ 5 
Gọi H là hình chiếu của A lên BC H cố địnhAH không đổi 
Chu vi ADE = MD + ME + DE = 
3 3 3
BM CM AM
2 2 2
  
      
3 3 3
BM MC AM BC AM BC AH
2 2 2
       không đổi 
Dấu “=” xảy ra M H  M là hình chiếu của A lên BC. 
Bài 4: 
a) 
2 2
2 2
x y x y
y xy x
    x 0; y 0  
2 2 4 4 3 3
2 2 2 2
x y x y x y x y xy
0 0
y xy x x y
  
       
      
2
3 3 2 2
2 2 2 2
x y x y x y x xy y
0 0
x y x y
    
   
 
2
2
2
2 2
1 3
x y x y y
2 4
0(luônđúng, x 0; y 0)
x y
  
    
        
b) Tìm Min 
 
2 2
a 3ab b
P (a 0;b 0)
ab a b
 
  

 
 
 
   
 
2 2
2
2 2
1 3
a b ab a b
a b aba 3ab b 4 4
P
ab a b ab a b ab a b
     
  
  
 
 
   
 
22 11 3 3
2 a b .aba b ab a b .2 ab
3 544 4 4
1
2 2ab a b ab ab a b ab
  
      
 
Dấu “=” xảy ra  
21
a b ab
a b4
a b

 
  
 
Vậy Min 
5
P a b
2
   . 
* Cách làm khác: 
 
 
 
2
2 2 a b aba 3ab b a b ab
P
a bab a b ab a b ab
   
   
 
3 a b 1 a b ab 3 1 5
. .2 2.
4 4 a b 4 4 2ab ab
  
      
  
Bài 5: 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
TS LỚP 10 CHUYÊN TOÁN – TP.HCM (2014-2015) Trang 5/ 5 
K
IH
B
O
A
M
a) Chứng minh HK AI 
Dễ thấy OM là trung trực của AB OM AB tại H. 
Áp dụng phương tích của điểm I với (O) ta được:  2 2IK.IA IO R R:bánkính(O)  
Mà:  
2
2 2 2
IH IO OH IO 2IO.OH OH     
   2 2IO OH 2.IO OH IO OH 2IH 2OH OH       
   2 2IO OH 2.IH OH IO OH HM OH      
2 2 2
IO OH.OM IO R .    
Nên: 
2
IH IA
IH IK.IA
IK IH
   ; Ichung IHA IKH(c.g.c) ∽ 
0
IKH IHA 90 HK AItạiK.     
a) TínhMKB 
Ta có: 
2 2
IM IH IK.IA  ; Ichung IMK IAM(c.g.c) ∽ 
IMK IAM HBK    tứ giác HBMK nội tiếp 0MKB MHB 90   
Bài 6:    2 22015 x y 2014 2xy 1 25 (1)    
 
2
2 2
2014 x y x y 2014 25      
 
2
2
Nếu x y 0 x y thì pt(1) 2x 2039 (2)      2Tacó: 2x 2; 2039 2 pt(2)vô nghiệm  
 
2
2 2
Nếu x y 2thìVT(1) 2014.2 x y 2014.2 4028 2039 VP(1)         
 
(1)
2
2 2
Dođó x y 1 x y 25     
 
2
2 2
2 2
2 2
x y 1
x y 1x y 1
Tacóhệ: x y 1
x y 25x y 25
x y 25
          
     
     
2 2
2 2
x y 1
x y 25
.....
x y 1
x y 25
  

 
    
  
Vậy cặp nghiệm nguyên của phương trình là:          x;y 3;4 , 4;3 , 3; 4 , 4; 3     .