Định lý Vi - Ét và ứng dụng

SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 1
ĐỀ TÀI
ĐỊNH LÝ VI-ÉT
VÀ
ỨNG DỤNG
PHẦN MỞ ĐẦU
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 2
1) Lý do chọn đề tài:
Như chúng ta đã biết, Toán học có vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu khoa học và
đời sống xã hội. Việc giảng dạy và học tập để lĩnh hội được kiến thức Toán một cách vững
vàng đòi hỏi người dạy và học phải có một sự đầu tư công phu và đúng phương pháp. Kiến
thức Toán cần phải trình bày và nắm bắt một cách có hệ thống.
Về chủ đề định lý Vi-et và ứng dụng , tôi thấy đã có nhiều tác giả viết và xuất bản ,
nhưng đa phần chỉ là một ứng dụng riêng lẻ vào một dạng bài tập nào đó. Chưa thấy tài
liệu nào viết dưới dạng chủ đề riêng về định lý Vi-et. Điều đó thôi thúc tôi viết đề tài này
nhằm mục đích hệ thống lại hoàn chỉnh hơn.
Bản thân sau một số năm giảng dạy môn Toán có rút ra nhận xét là học sinh thường nắm
kiến thức Toán một cách cục bộ chứ không hệ thống được kiến thức. Các em thường ít
thấy được mối quan hệ giữa các vấn đề toán học với nhau. Chính vì thế nên khi gặp các
vấn đề toán có cùng bản chất nhưng phát biểu ở dạng khác thì học sinh thường tỏ ra lúng
túng và bế tắc.
Tôi xin đưa ra đây ví dụ . Có lần tôi cho học sinh giải bài tập sau:
Tìm m để hàm số 2
23)2(2

 x
mxmxy có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị
bằng 5.
Học sinh sau khi biểu diễn tọa độ cực trị theo nghiệm của y’, để tính khoảng cách bằng 5,
đa số các em đều cố gắng giải tìm nghiệm x1;x2 của y’ rồi dùng công thức khoảng cách.
Lời giải theo hướng đó thường rất cồng kềnh khi nghiệm y’ chứa căn thức, nên tính toán sẽ
rất khó khăn và thường là thất bại.
Tuy nhiên nếu các em biết sử dụng định lý Vi-et để đưa về tổng và tích thì đơn giản biết
mấy. Như thế các em đã không thấy được ỨNG DỤNG của định lý Vi-et trong trường hợp
này.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 3
Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu , tôi thấy ứng dụng của định lý Vi-et là rất
phong phú, nó xuất hiện trong nhiều dạng toán có liên quan tới nghiệm của phương trình
đa thức. Vì thế tôi quyết định chọn đề tài :
ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG.
Nhằm hệ thống lại các dạng toán có liên quan tới tính chất nghiệm của phương trình
đa thức. Đề tài đề cập tới nhiều dạng bài tập, mỗi dạng có số lượng bài tập phong phú, đủ
cho học sinh có điều kiện để nhận ra bản chất của từng dạng. Qua đề tài này , hi vọng
mang đến cho học sinh cái nhìn từ nhiều phía của định lý Vi-et, cũng như thấy được vai trò
to lớn của nó trong bộ môn Toán.
2) Mục đích nghiên cứu đề tài:
Bản thân hằng năm có tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trong nhà trường cũng
như tham gia luyện thi đại học. Tôi cố gắng đúc rút, xâu chuổi toàn bộ kiến thức mà bản
thân thu thập được thành một chủ đề về định lý Vi-et. Mong muốn nó có thể giải quyết
được một lớp các bài tập điển hình của chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi và chương
trình thi Đại học.
Các ví dụ minh họa ở đây cũng được rút ra chủ yếu từ hai kỳ thi đó, một số thí dụ do bản
thân sáng tạo ra. Mong muốn đề tài có thể đến với đông đảo học sinh, nhằm giúp các em
đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.
Qua đề tài này có thể giúp học sinh có nhiều phương pháp giải các dạng bài tập có liên
quan tới nghiệm của phương trình.
Việc nghiên cứu đề tài giúp tôi có một tài liệu mang tính hệ thống về định lý Vi-et, phục vụ
cho công tác giảng dạy và bồi dưỡng của mình. Qua nghiên cứu đề tài , giúp tôi tự tin hơn
trong công tác giảng dạy.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 4
Một mục đích nữa của việc nghiên cứu đề tài là bản thân mong muốn có nhiều điều
kiện để giao lưu, học hỏi , trao đổi chuyên môn với bạn bè đồng nghiệp.
3)Nhiệm vụ của việc nghiên cứu đề tài:
Quá trình nghiên cứu để tài để bản thân trau dồi thêm kiến thức chuyên môn và nghiệp
vụ. Cách thức thực hiện một đề tài khoa học là như thế nào. Có điều kiện để trao đổi nhiều
hơn với thầy cô trong tổ Toán về các vấn đề Toán. Quan trọng hơn nữa là đưa tới cho học
sinh một số dạng bài tập có ứng dụng cao trong các kỳ thi, giúp các em có kết quả tốt hơn.
Đề tài mà tác giả thực hiện với nhiệm vụ là giúp học sinh cải tiến phương pháp học
tập. Biết quan tâm tới bản chất Toán học trong mỗi phát biểu. Cách trình bày của đề tài từ
mức độ dễ đến khó, nhằm từng bước giúp học sinh nâng cao và kiến thức và kỹ năng của
mình.
Đề tài khi được công bố, nó phải giúp học sinh nắm vững hơn về các ứng dụng của định lý
Vi-et. Làm tốt hơn các dạng bài tập mà các thế hệ học sinh trước đang còn lúng túng và bế
tắc.
Một nhiệm vụ nữa của đề tài mà tác giả thấy cần thiết là đưa đến cho học sinh khá ,
giỏi một tài liệu bổ ích, được chắt lọc một cách công phu. Qua đề tài này, các em có thể
tìm thấy cho mình nhiều ví dụ thú vị.
4)Phương pháp nghiên cứu đề tài:
4.1) Phương pháp tiếp cận vấn đề :
Đề tài này được tác giả ấp ủ từ những năm 2007 sau một thời gian tham gia giảng dạy.
Từ đó đến nay, tác giả đã tiếp cận với nhiều khóa học trò, tiếp cần với nhiều đề thi đại học
và học sinh giỏi , từ đó rút ra được nhiều nội dung hơn, có sự đánh giá ngày càng toàn diện
hơn. Qua phân tích và giải đề thi, giúp tác giả có được nhiều ví dụ dẫn chứng cho dạng bài
tập mà mình đưa ra. Từ đó đề tài có nội dung phong phú hơn.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 5
Đề tài được trình bày theo các vấn đề từ mức dễ đến khó hơn. Từ đó dẫn dắt học sinh
có thể lĩnh hội được dần các nội dung khó.
Các kiến thức Toán , đặc biệt là các định lý và bổ đề, tác giả đều cố gắng trình bày phép
chứng minh. Xem đó là kiến thức cơ sở cho nội dung đang xét tới. Với cách trình bày đó,
học sinh sẽ không cảm thấy đón nhận kiến thức một cách gượng ép, theo kiểu công nhận.
Các em có thể từ từ tiếp cận vấn đề một cách tự nhiên.
Vì tư tưởng của đề tài là làm cho học sinh thấy rõ cơ sở, bản chất Toán học trong mỗi vấn
đề nên người viết luôn đưa ra các bình luận sau mỗi ví dụ và các bài tập đề nghị sau mỗi
dạng.
4.2) Phương pháp phân tích , bình luận:
Trước khi đi vào mỗi dạng , tác giả thường đưa ra những phân tích của mình về các
vấn đề thường gặp của dạng đó. Khái quát phương pháp giải cũng như chỉ ra các việc cần
làm khi giải. Học sinh sẽ bước đầu hình dung được nội dung phương pháp giải tổng quát
của vấn đề mình đang gặp.
Qua các ví dụ , tác giả thường có các bình luận về dạng bài tập đó, từ đó học sinh có
thể thấy rõ bản chất của vấn đề mình đang gặp phải. Thấy được tính cụ thể cũng như tổng
quát trong mỗi bài toán.
Qua mỗi bình luận tác giả muốn trao đổi với người đọc về phương pháp giải, cách suy
nghĩ nào đi tới lời giải như thế. Thấy được tính tương tự hóa trong các bài toán khác nhau.
Một khi nắm được bản chất, học sinh có thể làm được các bài tập tương tự , cũng như có
thể sáng tạo ra các bài toán khác từ bài toán gốc.
4.3) Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa:
Đây có lẽ là phương pháp chủ đạo của đề tài. Nội dung đề tài được phân chia thành
nhiều dạng Toán, đó là quá trình tổng hợp những kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu và từ
bản thân rút ra.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 6
Các dạng bài tập đưa ra cũng ở mức độ khá trở lên, nên đòi hỏi nhiều quá trình suy
luận và tổng hợp lời giải .
Vì nội dung đề tài xuyên suốt cả một vấn đề Toán học khá rộng , nên đòi hỏi người viết
phải có sự chuẩn bị khá lâu dài về mặt thời gian ( ý tưởng hình thành), và khi viết ra cần
phải tổng hợp các kiến thức lại thành chủ đề thống nhất.
Các chủ đề khác nhau được hệ thống hóa theo một bố cục chặt chẽ theo hai mảng lớn
là định lý Vi-et bậc hai và tổng quát.
Đọc qua đề tài ta thấy các vấn đề Toán học đề cập tới ở đây đều gắn trên cái cột sống là định
lý Vi-et. Tác giả đã cố gắng tổng hợp các vấn đề Toán học có cùng bản chất đó.
5) Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài chủ yếu nghiên cứu về lĩnh vực Đại số mà trọng tâm là nghiệm của đa thức.
Các vấn đề về Dãy số, Số học, Bất đẳng thức , Lượng giác và Hệ phương trình cũng được
đề cập trong các dạng toán liên quan.
Giải tích được đề cập tới về vấn đề cực trị và tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Tất cả các vấn
đề trên có một mối quan hệ chặt chẽ về mặt phương pháp giải quyết đó là sử dụng tới định
lý Vi-et. Từ đó cho thấy mối quan hệ thống nhất giữa các chủ đề toán học.
Phạm vi kiến thức mà đề tài đề cập đến chủ yếu là các kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao
đẳng cũng như là kỳ thi học sinh giỏi. Đây là những kỳ thi quan trọng diễn ra hằng năm.
Các kiến thức đưa ra ở trong này hoàn toàn là toán sơ cấp, điều đó phù hợp với chương
trình Toán phổ thông.
6) Một vài trăn trở khi thực hiện đề tài.
Đây là đề tài mà tác giả rất tâm đắc. Nó được hình thành từ mấy năm về trước. Qúa
trình giảng dạy , thấy rõ định lý Vi-et có rất nhiều ứng dụng trong các bài tập. Vì thế nó
luôn thôi thúc tác giả viết ra thành một vấn đề cụ thể và có tính hệ thống về định lý Vi-et.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 7
Trường Phan Bội Châu nơi tôi đang dạy là một trường vùng sâu, vùng xa. Trình độ học
sinh ở đây nói chung là còn thấp, đặc biệt các em thường học yếu Toán. Phần lớn các em
lại chưa thực sự có niềm đam mê về Toán.
Do đó tôi luôn trăn trở liệu đề tài của mình viết ra có được chính học trò của mình đón
nhận và có giúp cho các em học tốt hơn về Toán không ?.
Hi vọng bằng những kinh nghiệm của bản thân, sẽ góp phần nhỏ để có thể cải tiến phong
trào bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi Đại học, cao đẳng trong nhà trường.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 8
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
PHẦN THỨ NHẤT
GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI-ET
I- ĐỊNH LÝ VI-ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
Định lý Vi-et học sinh được học từ lớp 9, gồm có định lý thuận và định lý đảo. Định lý cho
ta mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ số của nó.
Định lý :
Nếu phương trình bậc hai 02  cbxax ( 0a ) có hai nghiệm x1; x2 thì tổng và tích của
chúng là: a
cxxa
bxx  2121 .; .Ngược lại nếu có hai số x1; x2 thỏa mãn :
x1+x2=S; x1.x2=P
thì x1;x2 là nghiệm của phương trình t2 –St +P =0.
Điều đáng nói trong định lý này là trong khi giải toán , ta có thể không quan tâm tới giá trị
của x1và x2 mà chỉ cần biết tổng và tích của chúng. Từ đó ta có những biểu diễn cần thiết .
II- ĐỊNH LÝ VI-ET TỔNG QUÁT:
Định lý:
Cho phương trình bậc n :
anxn +an-1xn-1 +...+ a1x +a0 = 0 (1) với 0na .
Nếu phương trình có n nghiệm x1 ;x2 ;... ;xn thì ta có :
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 9













n
n
n
n
n
nn
n
n
n
a
axxx
a
axxxxxx
a
axxxx
0
21
2
13221
1
321
)1(...
.............................................
...
...
(I)
Ngược lại nếu có các số x1 ;x2 ;...xn thỏa mãn hệ (I) thì chúng là nghiệm của phương trình
(1)
PHẦN THỨ HAI
ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 10
I-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET BẬC HAI:
1) DẠNG 1: BIỂU THỨC LÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM
Phân tích:
Trong khi làm các bài tập dạng này, học sinh cần lưu ý sự tồn tại nghiệm của phương trình,
sau đó biểu diễn các biểu thức qua 1 2x x và 1 2x x để có thể sử dụng định lý Vi-et. Các hằng
đẳng thức hay dùng là:
2 2 2( ) 2a b a b ab    ; 3 3 3( ) 3 ( )a b a b ab a b    
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình: 014)1(43 22  mmxmx (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thỏa mãn:
)(2
111
21
21
xxxx 
Giải
Trước hết điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là:
0)14(3)1(4 22'  mmm .
Giải được 32 m hoặc 32 m và 2 3m   .
Theo định lý Vi-et ta có :
3
)14(.;3
)1(4 2
2121
 mmxxmxx .
Lại có biểu thức ban đầu được đưa về là : 2.
21
21
21 xx
xx
xx  (*)
Thay tổng và tích các nghiệm vào (*) ta được:
0)14(3
)54)(1(20)2
1
14
3(3
)1(4
2
2
2 

 mm
mmm
mm
m
Ta được m=1; m=-1; m=5. Kết hợp điều kiện ta nhận được m=1; m=5.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 11
Ví dụ 2: Xét phương trình: 4 2 22( 2) 5 3 0x m m     (1) m là tham số.
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có 4 nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Gọi các nghiệm là 1 2 3 4, , ,x x x x . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức:
M= 2 2 2 2
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x   .
Giải:
1) Đặt x 2 = y ( y 0 ) Pt (1) trở thành:
2 2 22( 2) 5 3 0y m y m     (2)
2 2 2
4 2 2
4 2
2 2 2
2 2
( 2 ) ( 5 3 )
4 4 5 3
1
1 1 3( ) 2 . 2 4 4
1 3( )2 4
m m
m m m
m m
m m
m
   
    
  
   
  
Do m ,0 nên phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biêt.
Theo định lý Vi-et ta có:
2
2
1 2
2( 2) 2 ( 2 )1
b mS y y ma
       >0, m
2
1 2. 5 3cP y y ma    >0, m
1 2,y y cùng dương.
Vậy (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt nên (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt.
2) Theo kết quả trên ta có 1 2 3 4, , , 0x x x x 
Vậy 1 1 2 1,x y x y   , 3 2 4 2,x y x y  
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )M y y y y     = 21
22
yy  = 21
21 )(2
yy
yy


Thay kết quả S và P vào M ta có:
2, 2 2( 2 ) ( 5 3 )m m       
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 12
2 2
2 2
2 . 2 ( 2 ) 4 ( 2 )
5 3 5 3
m mM m m
   
Kết luận: 224 ( 2 )5 3
mM m
 
Ví dụ 3 :
Cho phương trình x 2 - ax + a - 1 = 0 có hai nghiệm 1 2,x x
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức 2 21 22 2
1 2 2 1
3 3 3x xM x x x x
  
b) Tìm a để tổng bình phương hai nghiệm đạt GTNN ?
Giải:
a) Ta có:
22 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 ( ) 2 13( 1)
( ) ( )
x x x xx xM x x x x x x x x
        
Theo định lý Vi-et ta có :
1 2 1 2; . 1S x x a P x x a     
Vậy  23 2( 1) 1 3 ( 1)( 1) 2( 1)( 1) ( 1)
a a a a aM a a a a
          
2 23( 1) 3( 1) 3( 1)
( 1) ( 1)
a a a
a a a a a
     
(ĐK : 0, 1a a  )
b) Ta có 1 2S x x a   (1)
1 2. 1P x x a   (2)
Đặt A= x12 +x22 =(x1 +x2 )2 -2x1x2= a2 -2a+2= (a-1)2 +1 1
và A=1 khi a=1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi a=1.
Ví dụ 4:
( Đề thi HSG lớp 9 thành phố HCM năm học 2003- 2004) (4®)
a) Tìm m để phương trình 2 22 2 2 0x mx m    có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của nó, tìm GTLN của biểu thức:
1 2 1 22 4A x x x x    .
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 13
Giải:
a) Ta có: , 2 2 22( 2) 4m m m       .
Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi:
04' 2  m 22  m
b) Theo định lý Vi-et ta có :
2
1 2 1 2
2; 2
mx x m x x    
Vậy 1 2 1 22 4 ( 2)( 3)A x x x x m m       =   m 2 m 3   ,vì m (-2;2)
Do đó 2 21 25 25( 2)(3 ) 6 ( )2 4 4A m m m m m           
Vậy GTLN của A là 2 54 khi và chỉ khi 2
1m .
Ví dụ 5:
Cho đa thức 11224)( 234  xxxxxf có các nghiệm là ix ; 4,1i . Hãy tính tổng sau:
22
24
1 )1(
12

 i ii x
xS .
Giải:
Ta viết lại :
89)2(6)2()( 222  xxxxxf
 8)32( 22  xx 




)2(0832
)1(0832
2
2
xx
xx .
Gọi các nghiệm của (1) là 21; xx ; các nghiệm của (2) là 43 ; xx .
Ta có :
22 )1(
12
)1(
12
2
2
2
2
2
1
2
1
1 

 x
x
x
xS = 2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)1()1(
12
)1()1(
12



xx
x
xx
x =
)84()1(
12
)84()1(
12
2
2
2
2
2
1
2
1


 x
x
x
x
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 14
  




 221
2
1
2
2
2
2
2
1
)1)(1(
)1)(12()1)(12(
)84(
1
xx
xxxx
  




 22121
1
2
1
2
22
2
2
2
1
)1(
)12)(12()12)(12(
)84(
1
xxxx
xxxxxx
  




 22121
21
2
2
2
12121
2
2
2
1
)1(
2)(2)(3)(44
)84(
1
xxxx
xxxxxxxxxx .
Áp dụng định lý Vi-et ta có: 221  xx ; 8321 xx .
Thay vào biểu thức trên ta có: 8
82280
84
1
1

S .
Thực hiện việc tính toán tương tự đối với phương trình (2) ta có :
2
9
21  SSS .
Bài tập tương tự:
1) Cho phương trình : 02  mxx
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ngịch đảo của nhau.
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
)1()1( 222121  xxxxA .
2) Cho hàm số mxxy  42 .
Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho OA=3OB.
3) Tìm m sao cho phương trình: 01)2( 22  mxmx có nghiệm thỏa mãn:
21
2
2
2
1 32 xxxx  .
4)Tìm m sao cho đồ thị hàm số : 8)4(2 224  mxmxy cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt A,B,C,D sao cho AB=BC=CD=DA.
5) Giả sử x1; x2 là các nghiệm của phương trình : 0152 2  xx . Hãy thiết lập phương
trình bậc hai có nghiệm là : 12
1
x
x và 11
2
x
x .
2) DẠNG 2: GIẢI HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 1
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 15
Phân tích:
- Hệ đối xứng hai ẩn kiểu 1 là hệ gồm hai phương trình , hai ẩn, trong đó nếu ta hoán
đổi vai trò các ẩn trong từng phương trình thì mỗi phương trình đều không thay đổi.
- Để giải hệ đối xứng kiểu 1 bằng cách sử dụng định lý Vi-et, ta thường biểu diễn các
phương trình qua tổng và tích của hai ẩn đó.
- Các hằng đẳng thức hay dùng là:
2 2 2( ) 2a b a b ab    ; 3 3 3( ) 3 ( )a b a b ab a b    
4 4 2 2 2 2 2( ) 2a b a b a b   
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình: 




35
30
yyxx
xyyx
Giải:
Ta đặt u= x 0 ; v= y 0 , hệ trở thành:

 

35
30
33
22
vu
uvvu 




35)(3)(
30)(
3 vuuvvu
vuuv .
Tiếp theo ta đặt
S=u+v; P=u.v ( )42 PS  ,
ta được hệ:




353
30
3 SPS
SP 




125
30
3S
SP 




6
5
P
S ( thỏa mãn).
Theo định lí Vi-et ta có u, v là nghiệm phương trình:
t2-5t+6=0.
Giải được t=2; t=3.
Do đó




3
2
v
u hoặc




2
3
v
u .
Dẫn đến nghiệm của hệ là(4;9); (9;4).
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 16
Ví dụ 2: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:




)2(22
)1(222
myxxy
mxyyx .
Giải:
Đây là hệ đối xứng kiểu 1.
Giả sử (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) cũng là nghiệm của hệ đó.
Để hệ có nghiệm duy nhất thì a=b.
Thay vào hệ ta được 
 

2
1
2
3
maa
ma .
Trừ vế theo vế phương trình trên cho phương trình dưới ta được
10)1)(1(01 223  aaaaaa .
Từ đó suy ra m=0 hoặc m=-2.
Thử lại với m=0 ta có hệ: .42
222




yxxy
xyyx
Đặt u= x+y; v=x.y ( )42 vu  , ta có hệ :
.42
2




uv
uv



 1
2
v
u
Theo định lý Vi-et thì x, y là nghiệm của phương trình:
t2-2t+1=0 , ta được t=1.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=y=1.
Với m=-2 ta có hệ: .02
222




yxxy
xyyx
Bằng cách đặt tương tự ta được (u;v)=(2;-1) và (u;v)=(-2;1).
Do đó hệ không có nghiệm duy nhất.
Vậy m=0 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3:
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 17
Giải hệ phương trình: 
 

5
23
44
22
yx
yxyx
Giải:
Ta có x4+y4 = (x2 +y2)2 -2x2y2. Nên đặt u=x2 +y2 ; v=xy, ta có hệ trở thành 
 

52
23
22 vu
vu .
Giải hệ được




2
3
v
u (I) hoặc là 




236
249
v
u .(II)
Với hệ (I) thì 
 

2
322
xy
yx

 

2
3
22
22
yx
yx .
Theo định lý Vi-et thì x2 ; y2 là nghiệm của phương trình t2 -3t +2=0 , ta được t=1; t=2.
Thế vào hệ ta được






0
2
1
2
2
xy
y
x
, hoặc là






0
1
2
2
2
xy
y
x
Suy ra nghiệm (x; y) là (1; - 2 ); ( 1 ; 2 ) ; ( 2 ;-1); (- 2 ;1).
Trường hợp kia