Đề thi olympic Toán lớp 8 năm học 2010 - 2011

PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8
 NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a) .
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
	 a) 
	 b) .
Bài 3. a) Cho phương trình: , với m là tham số. Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
 b) Cho các số nguyên: thoã mãn điều kiện: chia hết cho 6. Chứng minh: chia hết cho 6.
Bài 4. Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C trên tia Ax, lấy điểm D trên tia By sao cho .
 a) Chứng minh rằng: đồng dạng với ;
 đồng dạng với .
 b) Kẻ OI vuông góc với CD (I thuộc CD), gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: IK // AC.
c) Gọi E là giao điểm của OD với IK. Chứng minh: IE = BD.
Bài 5. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I (), gọi G là giao AM với BI; K là giao điểm CG với AB. Chứng minh rằng: IK // BC.
===HẾT===
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2010-2011
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
4.0
điểm
a) (2.0đ) 
1.0
1.0
b) (2,0đ) Đặt 
Ta có: = 
 = 
 = 
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2
4.0
điểm
a) (2.0đ)
0,5
0,25
0,5
0,25
. Vậy ph trình có 2 nghiệm là và 
0,25
0,25
b) (2.0đ)
0,5
0,25
0,25
 Vậy phương trình có 2 nghiệm và 
0,5
0.5
Bài 3
4.0
điểm
a) (2,0đ)
ĐKXĐ: x1
 suy ra: 4x – 1 = (m+3)(x-1)
(m -1) x = m+2 (*)
* Nếu m = 1 thì pt (*) vô nghiệm 
* Nếu m 1 pt (*) có nghiệm 
Ta thấy nên x1
Phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi 
 m > 1 hoặc m < -2 
0.25
0.25
0.5
0.25
0,25
0.25
0,25
 b) (2.0đ) Xét ()
 = 
 Do chia hết cho 2 và 3 nên 
Khi đó ta có:()
 Mà 
 Suy ra: 
0,25
0.75
0.5
0.5
Bài 4
6.0
điểm
(0,25đ) Vẽ hình đúng
0,25
a) (1,75 đ)
 * đồng dạng với ( g. g)
 * Do đồng dạng với ( g-g) suy ra: 
Khi đó ta có: đồng dạng với 
( c.g.c).
0.5
0.5
0.75
b) (2 đ) Ta chứng minh được (cạnh huyền-góc nhọn) DB = DI 
 chứng minh tương tự ta có: CI = CA 
 khi đó ta có: (1)
 Do AC // BD nên ta có: (2) 
 từ (1) và (2) ta có: IK // AC
0.5
0.5
0.5
0.5
c) (2.0 đ)Ta chứng minh được E là trực tâm của 
 BE vuông góc OI mà OI vuông góc CD suy ra CD // BE
kết hợp với BD // IK ta có BEID là hình bình hành BD = IE
1.0
0.5
0.5
Bài 5
2.0
điểm
Vẽ hình đúng
0.25
Qua G kẻ đường thẳng song song với 
BC lần lượt cắt AC và AB tại E và F
Ta có:
Ta lại có:và 
Suy ra: KI // BC
0.75
1.0
Tổng
20.0
Lưu ý: Các cách giải khác dúng và hợp lý vẫn cho điểm tối đa. Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5