đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp 8 Năm học 2006-2007 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Phân tích thành nhân tử. a) b) Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6. Bài 3. a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2 Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1) + f(5). Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh: Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN. đáp án toán 8 Bài 1. Phân tích thành nhân tử.(4 điểm, mỗi câu 2 điểm) a) Ta nhận thấy a = 1, a = 2 là nghiệm của đa thức nên: Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6. (3 điểm) A = a + b + c 3 =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2) a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => C 6 => B 6 Bài 3. a) Cho a – b = 1. Chứng minh a2 + b2 (*).(4 điểm, mỗi câu 2 điểm) Từ a – b =1 => a =1 + b => a2 =1 + 2b + b2, thay vào (*) ta có: 1 + 2b + 2b2 => 4b2 + 4b +1 0 =>(2b + 1)2 0. BĐT này luôn đúng. Vậy a2 + b2 . Dấu bằng xẩy ra (2b + 1)2 b =- và a = ; b) Cho 6a – 5b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a2 + 25b2 Đặt x = 2a; y = - 5b. áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (3x + y)2 (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2 Hay 4a2 + 25b2 . Dấu bằng xẩy ra 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1) + f(5). (4 điểm) Nhận xét: g(x) = 2x2 + 3 thoả mãn g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21. Q(x) = f(x) - g(x) là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm x = 1, x = 2, x = 3 Vậy Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - a); ta có: f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + 3 = 29 + 24a. f(5) = Q(5) + 2.52 + 3 = 173 - 24a. => f(-1) + f(5) = 202 Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM = MA; CN cắt AB tại E. Chứng minh: Tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN. .(4 điểm, mỗi câu 2 điểm) C F M N A E B a)ANC vuông tại N (vì AM = MC = MN) CNM + MNA = 1v BAN + NAC = 1v Mà MNA = NAC => CNM = BAN Mặt khác CNM = BNE (đđ) =>BNE = BAN => BNE BAN b) Trên tia đối tia MN lấy điểm F sao cho FM = MN. Tứ giác ANCF là hình chữ nhật (vì có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) => CE // AF => AFB = ENB (đồng vị) =>BAN BFA => (Đpcm) Cách khác: b) Ta có:ACN EAN => BNE BAN =>. Từ (1) và (2) => BN = AE Từ Từ (3) và (4) => (Đpcm)
Tài liệu đính kèm: