Đề thi học sinh giỏi Toán 9 (năm học 2009- 2010) Trường THCS Yên Thái

Trường THCS Yên Thái
Đề thi học sinh giỏi toán 9 (năm học 2009- 2010)
Thời gian làm bài 150 phút
Họ và tên người ra đề: Nguyễn Thị Thuý Hằng
Đề bài: 
Câu1. ( 4 điểm)
Cho biếu thức 
M =
a, Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
b, Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M?
Câu 2. ( 4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của hệ 
Câu 3. (4 điểm)
Cho A (6,0); B (0,3)
a, Viết phương trình đường thẳng AB.
b, Một điểm M (x;y) di chuyển trên đoạn thẳng AB. Gọi C; D theo thứ tự là hình chiếu của M trên OA; OB. Gọi N là điểm chia đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2. Tính toạ độ (x’; y’) của N theo ( x; y) .
c, Lập một hệ thức giữa x’; y’ từ đó suy ra quĩ tích của N.
Câu 4. (5 điểm )
Cho ( 0; R )đường thẳng d cắt ( O ) tại 2 điểm A; B. trên d lấy 1 điểm M và từ đó kẻ 2 tiếp tuyến MN; MP ( N; P là tiếp điểm)
a, C/M: PMO = PNO
b, Tìm 2 điểm cố định mà đường tròn ( MNP ) luôn đi qua khi M di động trên d.
c, xác định vị trí của M để MNP là đều.
Câu 5.( 3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đáp án:
	Câu 1. (4đ)
	a, Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: và x#1. (0,5đ) 
	M =
	 (0,5đ)
	 (1đ)
	 (0,5đ)
	b, Do x nên M . Đẳng thức xảy ra khi x = 0 (0,5đ)
	Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 khi x = 0 (1đ)
	Câu 2. Viết lại hệ đã cho dưới dạng
	(x+2y+2) ( x-y) =-7 (1)
	 x3+y3+x-y = 8 (2) (1,5đ)
	Từ (1) do x, y nguyên ta có các trường hợp sau:
	a, x- y=-1 và x+2y+2 = 7 =>x=1 và y = 2 thoả mãn ( 2) (0,5đ)
	b, x-y = 1 và x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y không nguyên (o,5đ)
	c, x- y= -7 và x+ 2y +2 = 1
	Giải hệ nàyđược nghiệm ( x, y) = ( -5,2) không thoả mãn phương trình (2) (0,5đ)
	d, x-y = 7 và x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y không nguyên (0,5đ)
	Tóm lại hệ đã cho có duy hất một nghiệm nguyên (x, y) =(1, 2) (0,5đ)
	Câu 3. (4đ)
	a, Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b ( a # 0) (0,5đ)
	Đường thẳng đi qua điểm A ( 6; 0) nên ta có 6a+ b = 0 (1) và đi qua điểm B ( 0;3) nên ta có b = 3. Thay b = 3 vào (1) => a = - (0,5đ)
	Vậy đường thẳng AB là y = - x +3 (0,5đ)
	b, Gọi H là hình chiếu của N trên OA, K là hình chiếu của N trên OB 
	Tam giác DOC có KN// OC nên => (1) (0,5đ)
Tương tự NH // OD => (2) (0,5đ)
=>N có toạ độ ( x’ = x ; y’ = y) (0,5đ)
c, Từ (1) => x= x’; y= 3y’ thế vào y= - x+ 3 => y’ = - x + 1 (0,5đ)
Vậy quĩ tích điểm N là phần đường thẳng y= - x + 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất. (0,5đ)
Câu 4. (5đ)
a, MN, MP là hai tiếp tuyến của ( O) => ONM = 900, OPM = 900 (0,5đ)
=> tứ giác ONMP có góc ONM + OPM = 1800. Do đó tứ giác ONMP nội tiếp đường tròn đường kính OM (1đ)
b, Kẻ OQ vuông góc với AB => QA = QB ( đường kính vuông góc với dây) (0,5)
Vì AB cố định => Q cố định . (0,5đ)
 Gọi I là trung điểm của OM tam giác OQM vuông tại Q => QI = IO = IM. Vậy Q thuộc đường tròn đường kính OM. (0,5đ)
Kết hợp với câu a => 5 điểm M, N, O, Q, P thuộc đường tròn đường kính OM => đường tròn ( MNP) luôn đi qua hai điểm O, Q cố định khi M di chuyển trên d . (0,5đ)
c, Để tam giác MNP đều => góc NMP = 600 mà MO là phân giác của góc NMP 
=> NMO = 300 => ON = OM => OM = 2NO = 2R. (0,5đ) 
 Dựng cung tròn tâm O bán kính 2R cắt d tại M => M là điểm cần dựng để tam giác MNP đều (0,5đ)
Thật vậy OM = 2R= 2ON => sin NMO = NMO =300 => NMP = 600
Vậy tam giác MNP là tam giác đều. (0,5đ)
Câu 5. (3đ)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho bốn số không âm ta có: 
 (1đ)
 ( 1đ) 
Do đó giá trị nhỏ nhất của Q là - khi x2 = y2 = 1 (1đ)