Tổng hợp đề thi chuyên Toán các tỉnh năm học 2013-2014 và 2014-2015

doc 79 trang Người đăng khoa-nguyen Lượt xem 1388Lượt tải 3 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề thi chuyên Toán các tỉnh năm học 2013-2014 và 2014-2015", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tổng hợp đề thi chuyên Toán các tỉnh năm học 2013-2014 và 2014-2015
TỔNG HỢP ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN CÁC TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 VÀ 2014-2015.
SỞ GD&ĐT LONG AN
----------------
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức với điều kiện .
a) Rút gọn biểu thức .
b) Tìm tất cả các số tự nhiên để .
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình . Tìm tất cả giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho .
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình .
Câu 4 (2,5 điểm) 
Gọi là đường tròn tâm , đường kính . Gọi là điểm nằm giữa và , từ vẽ dây vuông góc với . Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng .
a) Chứng minh: tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn .
c) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng .
Câu 5 (1,0 điểm)
Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho các số thực sao cho và .
Tìm giá trị lớn nhất của .
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật với . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho luôn tạo thành tứ giác. Gọi là chu vi của tứ giác . Chứng minh: .
--------HẾT---------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH 10 THPT CHUYÊN LONG AN 
 LONG AN NĂM HỌC 2014-2015 
 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN
 (Hướng dẫn chấm có 03 trang)
 Ghi chú: 
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm .
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1a
(0,75 điểm)
0,25
0,25
0,25
Câu 1b
(0,75 điểm)
Vì và nên 
0,25
Suy ra 
0,25
 cần tìm là : 
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
0,25
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
0,25
0,25
0,25
Vì nên 
0,25
Suy ra 
0,25
Suy ra 
0,25
Giá trị của cần tìm là 
0,25
Câu 3
(1,0 điểm)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4a
(0,75 điểm)
Ta có : (giả thiết)
0,25
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Suy ra 
0,25
Vì tứ giác có nên nội tiếp 
0,25
Câu 4b
(0,75 điểm)
Vì nội tiếp và song song nên (*)
0,25
Vì nội tiếp nên (**)
0,25
Từ (*) và (**) suy ra .Vậy là tiếp tuyến của 
0,25
Câu 4c
(1,0 điểm)
Gọi là giao điểm cùa và 
Ta có 
Suy ra là phân giác trong của tam giác
0,25
Ta có CB là phân giác ngoài của tam giác ECI
0,25
Ta có song song (cùng)
0,25
Mặt khác: (3) (là tiếp tuyến )
Từ (1), (2) và (3) suy ra 
Vậy đi qua trung điểm của đoạn thẳng.
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm
0,25
Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm)
0,25
Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa phương
0,25
Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán và đến từ cùng một địa phương
0,25
Câu 6
(1,0 điểm)
Ta có suy ra
0,25
Suy ra 
0,25
Suy ra 
0,25
Giá trị lớn nhất của là 10 ( với hoặc các hoán vị )
0,25
Câu 7
( 1,0 điểm)
Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.
rAEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= 
Tương tự MC= .
0,25
IK là đường trung bình của rEFG nên IK=. Tương tự KM= 
0,25
P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)
0,25
Ta có: AI + IK + KM + MC ³ AC 
Suy ra P³ 2AC= 
0,25
-------HẾT-------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 ĐIỆN BIÊN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn: Toán (chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút. Ngày thi:28/06/2014 
Câu 1. (2,0 điểm)Cho biểu thức:
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
2) Tính giá trị của P nếu và 
Câu 2. (1,5 điểm)Cho phương trình: ,(m là tham số).
1) Giải phương trình với m=2.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn:
Câu 3. (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình:  
Câu 4. (2,0 điểm)Trên hai cạnh Ox,Oy của góc vuông xOy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn OB). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.
1) Chứng minh rằng OI=OM và tứ giác OMHI nội tiếp được trong một đường tròn.
2) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BI tại K. Chứng minh rằng OK=KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB?
Câu 5. (1,0 điểm)Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1  nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên cạnh CA lấy điểm E, trên cạnh AB lấy điểm F, sao cho tứ giác AFDE là tứ giác nội tiếp. Kéo dài AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại giao điểm thứ hai M(M≠A).
Chứng minh rằng: 
Câu 6. (1,5 điểm)
1)Cho các số x,y dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2)Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho hai số  và là hai số nguyên tố.
  ------------------HẾT-----------------
(Toán chuyên – Huỳnh Mẫn Đạt – Kiên Giang). ( 22- 06 – 2014 )
------------
	SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
	KIÊN GIANG	Năm học 2014-2015
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	Môn thi : TOÁN CHUYÊN 
	Thời gian làm bài : 150 phút , Không kể thời gian giao đề 
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức: 
1/ Rút gọn biểu thức . 2/ Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất.
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho parabol (P) ; đường thẳng (d) : mx + ny = 2 và hai điểm M(0; 2); N(4; 0)
Tìm m, n biết đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, N.
Khi đường thẳng (d) đi qua điểm M. Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tọa độ A và B biết rằng khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số. Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: .
Bài 4: (2 điểm)
1/ Cho 2 số thực a,b thỏa a + b = 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = a3 + b3.
2/ Cho hai số thực a, b. Chứng minh rằng: 2(a4 + b4) ab3 + a3b + 2a2b2.
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho BC > R, dựng CD vuông góc với AB (D thuộc AB). Gọi E là điểm trên tia CD sao cho ED = BC (theo thứ tự C, D, E). Các tiếp tuyến EP, EQ với đường tròn tâm O (P và A nằm cùng phía so với DE) cắt đường thẳng d lần lượt tại N và K; CE cắt đường tròn tâm O ở F.
1) Chứng minh: EF2 = CE.EF.	
2) Chứng minh EP = BD.
3) Đặt KN = x, BD = y. Tính diện tích tam giác EKN theo R, x, y.	
4) Chứng minh KN = AB.	
Gợi ý :
Bài 1 
1) Rút gọn được M = .
2) Để tìm max của M ta dùng phương pháp miền giá trị.
Đặt , , để phương trình theo biến t có nghiệm thì (1 – M)(3M + 25)0 .Vậy max M = 1 khi t = 2 và x = 4.
Bài 2
1) Thay tọa độ các điểm M, N vào phương trình của (d) tìm được 
2) Khi (d) đi qua M(0; 2) ta tính được n = 1, thay vào phương trình ta được pt (d): y = - mx + 2.
Đưa về phương trình hoành độ giao điểm: . (1) do a, c trái dấu pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai điểm cắt là . Để tìm tọa độ hai điểm A, B ta giải phương trình AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 (2) với AB = và , . Thay vào (2) ta được phương trình: m2 + 5m2 – 14 = 0. Giải phương trình được nghiệm m2 = 2, hay m = , thay vào phương trình (1) được tọa độ của hai điểm A, B là : hoặc .
Bài 3.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: (*)
- Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = - a , x1.x2 = b + 1, kết hợp với điều kiện của giả thiết ta có hệ phương trình: . Bình phương (1); thay (3), (4) vào (2), ta được hệ: . Giải tiếp hệ phương trình này ta được b = - 3 , a = 1. Các giá trị a, b tìm được thỏa điều kiện (*) thế vào phương trình (1) thử lại đểu thỏa .
Bài 4.
1) Tách hằng đẳng thức a3 + b3 rồi thế điều kiện a + b = 20 vào biểu thức T, ta được kết quả: 
T = 60(a – 10) 2 + 2000 2000. Vậy min T = 2000 khi a = b = 10.
2) Chuyển vế và biến đổi tương đương ta được kết quả cuối cùng (a2 – b2)2 + (a – b)2(a2 + ab + b2) 0 là biểu thức luôn đúng.
Bài 5. 1) EP2 = EF.EC . (g-g)
2) + Trong BCA vuông tại C ta có BD = BC2: AB = BC2: 2R2.(1)
+ Trong EOQ: EQ2 = OE2 – R2 (2), mà OE2 = OD2 + DE2 (3) , OD = R – DB (4). Thay (4) vào (3), (3) vào (2) khai triển và thu gọn rồi thay kết quả vào (1), ta được: EQ2 = DB2 hay EQ = DB.
3) , thay KE = x + AN – y, NE = NP + y, NA = NP, ta được kết quả SKNE = R(x – y) (5)
4) Dựng EH AK, EH = AD = 2R – y. Vậy SKNE = (6). 
Từ (5) và (6) ta có x = 2R = AB.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————
Câu 1 (3,0 điểm).	
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: .
Câu 2 (2,0 điểm).
 a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho .
 b) Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện .
Câu 3 (1,0 điểm). Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh:
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:
Tứ giác BQCR nội tiếp.
 và D là trung điểm của QS.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 
Câu 5 (1,0 điểm). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
------------------HẾT------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:; SBD:.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
—————————
A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
a
Giải hệ phương trình 
1,5
0,50
Nhân từng vế các phương trình của hệ trên ta được
0,50
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được
0,25
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được
. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm .
0,25
b
Giải phương trình 
1,5
Điều kiện xác định . Khi đó ta có
0,50
0,50
*) 
0,25
*) 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .
0,25
2
a
Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì chia hết cho .
1,0
Nhận xét. Nếu là hai số nguyên dương thì .
0,25
 Khi đó ta có
(1)
0,25
Mặt khác
0,25
Do và kết hợp với (1), (2) ta được chia hết cho .
0,25
b
Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 
1,0
Nếu đều không chia hết cho 3 thì
 vô lý. Do đó trong hai số phải có một số bằng 3.
0,50
+) Nếu . Do đó .
0,25
+) Nếu vô lí. Vậy .
0,25
3
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh:
1,0
Ta có 
0,50
 (1)
0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được:
; cộng từng vế hai bất đẳng thức này ta được (1). Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
0,25
4
D
M
P
Q
R
S
E
F
H
A
B
C
a
Tứ giác BQCR nội tiếp.
1,0
Do nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.
0,25
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ,
0,25
Do QR song song với EF nên 
0,25
Từ đó suy ra hay tứ giác BQCR nội tiếp.
0,25
b
 và D là trung điểm của QS.
1,0
Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên 
Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên 
Từ hai tỷ số trên ta được 
0,25
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:
0,25
Từ (1) và (2) ta được 
0,25
Do QR song song với EF nên theo định lí Thales:.
 Kết hợp với (3) ta được hay D là trung điểm của QS.
0,25
c
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
1,0
Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên (4).
0,25
Tiếp theo ta chứng minh 
0,25
 (đúng theo phần b). Do đó 
0,25
Từ (4) và (5) ta được suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
0,25
5
Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
1,0
Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. 
Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.
0.25
Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: 
0.25
Gọi là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó
 không là ước của tức là không chia hết cho 8
0.25
Nhưng trong 9 số chỉ có ba số lẻ nên 8 số bất kỳ trong 9 số luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.
Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra
0.25
---------------------------Hết----------------------------
UBND TỈNH BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2014
Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức với 
1) Rút gọn P.
2) Tìm số chính phương x sao cho là số nguyên.
Câu II. (2,0 điểm)
1) Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn các điều kiện và . Chứng minh rằng .
2) Tìm các số nguyên a để phương trình: có nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.
Câu III. (1,5 điểm)
1) Cho hệ phương trình với là ẩn, là tham số. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn 
2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu IV. (3,0 điểm)
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M và P. 
 1) Cho biết , tính độ dài đoạn BC. 
 2) Chứng minh rằng 
3) Chứng minh rằng BC, ON và AP đồng quy.
Câu V. (1,5 điểm)
1) Cho đường tròn tâm O bán kính 1, tam giác ABC có các đỉnh A, B, C nằm trong đường tròn và có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.
2) Cho tập . Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm phần tử của đều tồn tại hai số phân biệt mà là một số nguyên tố.
------------Hết------------
(Đề này gồm có 01 trang)
 Họ và tên thí sinh: ..Số báo danh: .....

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Câu
Đáp án
Điểm
I.1 
(1,0 điểm)
0,5
.
0,5
I.2 
(1,0 điểm)
Ta có là ước của 2 gồm: .
0,5
Từ đó tìm được 
0,5
II.1 
(1,0 điểm)
ĐK: 
Từ 
0,25
Ta có 
0,5
.
0,25
II.2 
(1,0 điểm)
D = . PT có nghiệm nguyên thì D = n2 với n Î 
Hay Û Û 
0,25
Vì 167 là số nguyên tố và nên ta có các trường hợp:
+) (t/m). 
+) (t/m).
0,5
Với thì PT có hai nghiệm nguyên là 
Với thì PT có hai nghiệm nguyên là 
0,25
III.1 
(0,5 điểm)
Từ (1) có , thay vào (2) ta có 
0,25
x2 - 2x – y = m2 – 2m – 2 = (m – 1)2 – 3 > 0 Û Û 
0,25
III.2 
(1,0 điểm)
Chứng minh được dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Từ giả thiết ta có . 
0,25
Ta có 
 Mà nên .
0,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
0,25
IV.1 
(1,0 điểm)
Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); 
Do đó, là trung trực của BC. Gọi K là giao điểm của ON và BC thì K là trung điểm của BC.
0,5
Mà vuông tại B, BK là đường cao nên 
Kết hợp giả thiết suy ra 
0,5
IV.2 
(1,0 điểm)
Ta có đồng dạng (g.g) (1).
Tương tự, đồng dạng (g.g) (2).
0,25
Vì (3) nên từ (1), (2) và (3) suy ra (4).
0,25
Mặt khác, Tứ giác AMCB là hình thang cân (5).
Từ (4), (5) 
0,5
IV.3 
(1,0 điểm)
Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Ta chứng minh 
Vì đồng dạng (g.g) (6).
0,25
Tương tự đồng dạng (g.g) (7).
0,25
Kết hợp (6), (7) và kết quả câu b) ta suy ra là trung điểm của BC. Suy ra . Vậy đồng quy tại K.
0,5
V.1
(0,5 điểm)
Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC. Không mất tính tổng quát giả sử A và O nằm về hai phía của đường thẳng BC. 
Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
Suy ra, AH £ AK < AO < 1 suy ra AH < 1.	
0,25
Suy ra, (mâu thuẫn với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25
V.2
(1,0 điểm)
Nếu chẵn thì là hợp số. Do đó nếu tập con của có hai phần tử phân biệt mà là một số nguyên tố thì không thể chỉ chứa các số chẵn. Suy ra, . Ta chứng tỏ là giá trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có ý nghĩa là với mọi tập con gồm 9 phần tử bất kỳ của luôn tồn tại hai phần tử phân biệt mà là một số nguyên tố. 
0,5
Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập thành các cặp hai phần tử phân biệt mà là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:
	.
Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của có hai phần tử cùng thuộc một cặp và ta có điều phải chứng minh.
0,5
Chú ý: 
 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỒNG NAI 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH NĂM HỌC 2014 - 2015 
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (1,5 điểm).
Tìm các số thực x, y thỏa mãn: x2 + 9y2 – 2x + 6y + 2 = 0
Cho các số thực x thỏa . Chứng minh : 2x3 – 3x2 – x + 1 < 0
Câu 2 (1,5 điểm).
Cho phương trình xn+2 – 12xn+1 + 29xn = 0, với n là số nguyên dương. 
Chứng minh rằng hai số 6 + và 6 - là nghiệm của phương trình đã cho với mọi số nguyên dương.
Cho . Chứng minh giá trị P là số nguyên.
Câu 3 (2 điểm).
Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (1 điểm).
Cho hai số nguyên dương a và b có ước chung lớn nhất là 1. Biết ab là lập phương của 1 nguyên dương. Chứng minh a là lập phương của 1 nguyên dương.
Câu 5 (1 điểm).
Cho tập hợp S = { m Î Z, 126 ≤ m ≤ 2014, m 6 }
Tính số phần tử của tập hợp S.
Tính số phần tử của tập hợp là ước của 126126 nhưng không là bội của 13.
Câu 6 (3 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. Lấy điểm D thuộc cung AB của đường tròn (O) không chứa C, D không trùng A và B. Vẽ đường thẳng a qua D vuông góc với AD. Biết đường thẳng a cắt đoạn BC tại điểm M (M không trùng B, C). Gọi K là trung điểm DM. Đường trung trực đoạn thẳng DM cắt các cạnh AB, AC, BD, AM lần lượt tại E, F, N, I (N không trùng B, F không trùng C)
Chứng minh BCNF là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác ABC cân ở A. Chứng minh MF song song AB.
--------------Hết--------------
HD 
Bài 5. 
Câu c) Gọi N và J là trung điểm của AB và AC ta có N, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHE và AHDC mặt khác MN và MJ là đường trung bình tam giác ABC nên MN//AC, MJ // AB. Do HK vuông góc với AC và AB vuông góc với BD nên MN vuông góc với HK và MJ vuông góc BD suy ra tam giác HME và MHF cân do đó tam giác MFE cân
Câu c cách khác:
* Cách 2: Gọi I là giao điểm của BE và MF. 
Ta có (hai góc nội tiếp chắn cung HE)
Mà (hai góc nội tiếp chắn cung HF) do đó suy ra (g.c.g)
Suy ra MI = MF.
Lại có IEF vuông tại E (do góc AEB vuông) suy ra RM = MF (t/c đường trung tuyến ứng cạnh huyền).
*Cách 3. Ta có OM BC suy ra tứ giác BEOM và tứ giác OMFC nội tiếp 
suy ra mà nên suy ra đpcm
Bài 6. Bổ đề: Với ta có (Để chứng minh bổ đề ta dùng biến đổi tương đương)
Đặt y = 2t thì và 
Áp dụng bổ đề và BĐT

Tài liệu đính kèm:

  • docTuyen_chon_de_thi_vao_10_chuyen_toan_cac_tinh.doc