Đề thi học sinh giỏi năm học 2014 – 2015 môn: Toán lớp 8

PHÒNG GD & ĐT TP BUÔN MA THUỘT
TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH
THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 
Bài 1 (2điểm): Chứng minh : chia hết cho 6 với mọi số nguyên a
Bài 2 (3điểm): Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thứcA
b) Tìm x để A > 0
Bài 3 (3điểm): Cho hai số a và b . Chứng minh rằng : 
Bài 4 (2điểm): Giải phương trình ..
Bài 5 (7điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao.
a) Chứng minh 
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB, đường vuông góc với BC vẽ từ B cắt đường thẳng MN tại I. Chứng minh: 
c) IC cắt AH tại O. Chứng minh O là trung điểm AH
Bài 6 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường phân giác trong BE cắt đường cao AH tại I. 
Chứng minh EC = 2HI
PHÒNG GD & ĐT T/P BUÔN- MA- THUỘT
TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH
THÔNG TIN PHÁT HIỆN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 
Bài 1 (2điểm): Chứng minh : chia hết cho 6 với mọi số nguyên a
Bài 2 (3điểm): Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thứcA
b) Tìm x để A > 0
Bài 3 (3điểm): Cho hai số a và b . Chứng minh rằng : 
Bài 4 (2điểm): Giải phương trình ..
Bài 5 (7điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao.
a) Chứng minh 
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB, đường vuông góc với BC vẽ từ B cắt đường thẳng MN tại I. Chứng minh: 
c) IC cắt AH tại O. Chứng minh O là trung điểm AH
Bài 6 (3điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường phân giác trong BE cắt đường cao AH tại I. 
Chứng minh EC = 2HI
PHÒNG GD & ĐT T/P BUÔN- MA- THUỘT
TRƯỜNG THCS PHAN CHU TRINH
KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM Mã đề A
Bài
Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
1
0,5
Ta có 2, 3 là các số nguyên tố cùng nhau
Mà là ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, 3 
0,5
Nên và 
0,5
Do đó với mọi số nguyên a
0,5
2
a
1,5
b
Điều kiện của x để A > 0
1
Vậy A > 0 khi 
0,5
3
2
Mà ta có
0,5
Nên (*) luôn luôn đúng , do đó . Đẳng thức xảy ra khi a = b
0,5
4
Điều kiện 
0,25
1
Vậy 
0,25
0,25
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là 
0,25
5
0,5
a
a) Chứng minh 
ΔABC vuông tại A có đường cao AH nên ta có : . Vậy 
1,5
b
b) Chứng minh: 
Xét ΔABC có MB = MC và NB = NA (gt) nên MN là đường trung bình, do đó MN // AC, mà AC ^ AB nên MN ^ AB tại N
1
Xét ΔBIM và ΔNIB có: 
1
Nên ΔBIM đồng dạng với ΔNIB do đó 
1
c
c) Chứng minh O là trung điểm AH
Gọi giao điểm của tia BI và tia CA là D. Xét ΔBCD có MB = MC và MI // CD
 nên I B=ID
0,75
Theo định lí Ta Let trong ΔBCI có ; trong ΔDCI có 
0,75
Vậy , mà BI = DI nên OA = OH. Vậy O là trung điểm AH
0,5
6
0,25
ΔABC vuông cân tại A nênAH cũng là phân giác góc BAC Ta có 
1
Nên ΔAIE cân tại A nên AI = AE (1) và 
0,25
Áp dụng tính chất phân trong các tam giác ABH và BAC ta có :
1
Ví tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = 2BH
0,25
Cùng với (1; 2; 3) ta có EC = 2IH 
0,25
II*Hướng dẫn chấm: 
- Giáo viên có thể chia nhỏ điểm thành phần trong từng câu để chấm
- Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần làm tròn theo quy chế
- Học sinh có thể lập luận cách khác nhưng đủ ý và chặt chẽ vẫn cho điểm thành phần tương ứng