Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Thiệu Hóa (Có đáp án)

PHềNG GD&ĐT THIỆU HểA
Đề chớnh thức
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 
 Năm học 2016 - 2017
Mụn: Toỏn 
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày 15 thỏng 4 năm 2017
Cõu 1: (4,0 điểm) Tớnh hợp lớ 
 a) b)
 c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17) d) 
Cõu 2: (3,0 điểm) 
	Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
	a. 
 b. B = 2x2 – 3x + 5 với 
c. C = biết x – y = 0.
Cõu 3: (4,0 điểm) 
	1. Tỡm x, y biết: 
2. Tỡm x, y, z biết: và x + y + z = 18.
Cõu 4: (3,0 điểm)
	1. Tỡm cỏc số nguyờn x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0.
 	2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 +  – 101x + 101. 
Tớnh f(100).
Cõu 5: (5,0 điểm) 
	Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. 
	a) Chứng minh rằng: DADC = DABE.
	b) Chứng minh rằng: DIB = 600.
	c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều.
	d) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. 
Cõu 5: (1,0 điểm) 
 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB= 3cm, AC=4 cm. Điểm I nằm trong tam giỏc và cỏch đều 3 cạnh tam giỏc ABC. Gọi M là chõn đường vuụng gúc kẻ từ I đến BC. Tớnh MB .
---------------- Hết ---------------
PHềNG GD&ĐT THIỆU HểA
HƯỚNG DẪN CHẤM
MễN TOÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 
 Năm học 2016 - 2017
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
4 đ
a) = = 
 b)= =
c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17) = (-25). 4.125.(-8) .(-17) 
= (-100).(-1000).(-17) = -1700000 
d) = = 
a
1đ
b
1đ
c
1đ
d
1đ
2
(3,0đ)
a. 
0,5
0,5
b. Vỡ nờn x = hoặc x = - 
 Với x = thỡ B = 2.()2 – 3. + 5 = 4
 Với x = - thỡ B = 2.(- )2 – 3.(-) + 5 = 7
 Vậy B = 4 với x = và B = 7 với x = - .
0,25
0,5
0,25
c. C = 
 (vỡ x – y = 0).
10
3
(4,0đ)
1. Vỡ với x; với y, do đú:
 với x, y. Theo đề bài thỡ . Từ đú suy ra: Khi đú và ú và Vậy và 
0,5
0,25
0,5
0,75
2. Ta cú: Suy ra: 
 Do đú: (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra 
 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
 Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8.
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
4
(3,0đ)
1. Ta cú: x – 2xy + y – 3 = 0
 ú 2x – 4xy + 2y – 6 = 0 ú 2x – 4xy + 2y – 1 = 5
 ú 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = 5 ú (2x – 1)(1 – 2y) = 5
Lập bảng :
2x – 1
1
5
-1
-5
1 – 2y
5
1
-5
-1
x
1
3
0
-2
y
-2
0
3
1
Thỏa món
Thỏa món
Thỏa món
Thỏa món
Vậy .
0,75
0,5
0,25
2. Ta cú: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 +  – 101x + 101
	 = x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 +  – 101x + 101
	 = x9(x – 100) – x8(x  – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) +  + x(x – 100) – (x – 101)
 Suy ra f(100) = 1.
0,5
0,5
0,5
Cõu 5.
a
Ta cú: AD = AB; và AC = AE
Suy ra DADC = DABE (c.g.c)
0,5
0,75 đ
0,25 đ
Cõu 4.b
Từ DADC = DABE (cõu a), 
mà (đối đỉnh). 
Khi đú xột DBIK và DDAK suy ra = 600 (đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Cõu 4.
c
Từ DADC = DABE (cõu a) ị CM = EN và 
ịDACM = DAEN (c.g.c) ị AM = AN và 
 = 600. Do đú DAMN đều.
0,5 đ
0,5 đ
Cõu 4.
d
Trờn tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ị DBIJ đều ị BJ = BI và = 600 suy ra , kết hợp BA = BD 
ịDIBA = DJBD (c.g.c) = 1200 mà = 600 
 = 600. Từ đú suy ra IA là phõn giỏc của gúc DIE
1
Cõu 5
Vỡ I nằm trong tam giỏc ABC cỏch đều 3 cạnh nờn I là giao 3 đường phõn giỏc trong tam giỏc ABC.
Tam giỏc ABC vuụng tại A nờn tớnh BC=5 cm.
CM được .
Chứng minh tương tự:AE=AD, BD=BM.
 Suy ra MB = (BC+AB-AC)/2 = 2
0.25
0.25
0,25
0,25