Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Hoằng Hóa (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 21/04/2014
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)
Câu 1: (4,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức: 
Tìm x, biết: 
Tính giá trị của biểu thức M = 21x2y + 4xy2 với x, y thoả mãn: 
 (x - 2)4 + ( 2y - 1)2014 
Câu 2: (4,5 điểm) 
 1) Tìm các số x, y, z biết: và 
 2) Tìm x , biết: (x - 2)(x + ) > 0.
 3) Tìm số nguyên x, biết rằng: 
Câu 3: (5,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức M = 4x + 4y + 21xy(x + y) + 7(x3y2 + x2y3) + 2014, 
 biết x + y = 0.
Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, 
 p(x) 5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
 3) Cho ,. So sánh với .
Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D ( D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt BA tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt tia AC tại N. MN cắt BC tại I. 
Chứng minh rằng: DM = EN.
Chứng minh rằng IM = IN; BC < MN.
Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra điểm O cố định.
Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho (E nằm giữa B và D). Chứng minh rằng .
	 .............. Hết.............
Họ và tên thí sinh::........................................... SBD..............................
 Giám thị 1:................................. Giám thị 2:..............................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
 HUYỆN HOẰNG HÓA	 Năm học: 2013-2014
 MÔN THI: TOÁN
Câu 
Hướng dẫn
Điểm
Câu 1: 
4,5đ
1) (1,5đ)	 
1,5
2) (1,5đ) Ta có: 
1,5
3) (1,5đ) Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y nên
(x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 . Mà (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 
Suy ra (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2014 = 0 suy ra x = 2, y = 
Khi đó M = 44.
0,5
0,25
0,5
0,25
Câu 2: 
4,5đ
1) (1,5đ) Từ 
Vậy: 
Suy ra x = -9; y = -12; z = -16.
0,5
0,5
0,5
(1,5đ) Từ (x - 2)(x + ) > 0 suy ra x – 2 và x + cùng dấu.
Dễ thấy x – 2 < x + nên ta có:
x – 2 và x + cùng dương x – 2 > 0 x > 2.
x – 2 và x + cùng âm x + < 0 x < - 
 Vậy x > 2 hoặc x < - .
0,25
0,5
0,5
0,25
3)(1,5đ) Ta có 
Do đó: x 14 , vì x nguyên nên 
0,5
0,5
0,5
Câu 3: 
(5.0đ)
1)(1,5đ) M = 4(x + y) + 21xy(x + y) + 7x2y2(x+ y) + 2014 = 2014
(Vì x + y = 0)
1,5
2)(2,0đ) Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p (0) = d 5.
p (1) = a + b + c + d 5 (1)
p (- 1) = - a + b - c + d 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 2(b + d)5 và 2(a + c)5 . 
 Vì 2(b + d)5, mà (2, 5) = 1 nên b+ d 5 suy ra b5.
p (2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b5. nên 8a + 2c 5,
kết hợp với 2(a + c)5 suy ra 6a 5 suy ra a 5 vì (6,5) = 1. từ đó c 5.
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3)(1,5đ) Đặt 
Ta có (1)
Lại có 
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó: 
0,25
0,5
0,25
0,5
Câu 4: 
(4,5đ)
1) (1,5đ)
Tam giác ABC cân tại A nên (đối đỉnh)
Do đó: 
1,5
2) (1,5đ)Ta có 
Vì BD = CE nên BC = DE .
Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN
Suy ra BC < MN.
0,5
0,5
0,5
3)(1,5đ) Ta chứng minh được: 
Lại có: BM = CN, do đó 
, Mà: suy ra , 
mà đây là hai góc kề bù nên COAN.
Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh. 
0,5
0,25
0,5
0,25
Câu 5: 
(1,5đ)
Vẽ AF vuông góc BD, CG vuông góc BD, CH vuông góc với AE. Ta có 
 (cạnh huỳen – góc nhon). Suy ra: AF = CH.
suy ra AF = CG.
Từ đó ta có CH = CG.
Mà 
Do đó: (1)
Măth khác: (2)
lấy (1) trừ (2) theo vế ta có: 
Mà nên .
0,25
0,5
0,5
0,25
Chú ý: 
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.