Đề thi học sinh giỏi môn học Toán 6

ĐỀ THI HSG TOÁN 6
Đề số 1
Cõu 1( 4 điểm). 
a) Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
 A = 3 + 32 + 33 + 34 +3100
b) Tớnh giỏ trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3
Cõu 2 (4 điểm). 
a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12. Chứng minh ( a + 34b) 12
b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7
c) Khi chia số tự nhiờn a cho cỏc số: 5; 7; 11 thỡ được số dư lần lượt là 3; 4; 6.
Tỡm số a biết 100 < a < 200
Cõu 3 ( 4 điểm)
	1. Tỡm tất cả cỏc cặp số tự nhiờn (x,y) sao cho chia hết cho 36 .	
2. Cho 
a) Chứng minh x 0
b) Tỡm x Z thỏa món đẳng thức trờn
Cõu 4 ( 2 điểm)
 a) Tỡm n nguyờn để (n2 – n – 1) (n – 1) 
 b) Tỡm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)
 Cõu 5. (6,0 điểm): Trờn tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm
a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại? Vỡ sao?
b) Tớnh độ dài đoạn thẳng AB.
c) Điểm A cú phải là trung điểm của đoạn thẳng OB khụng? Vỡ sao?
d) Trờn tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA. Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD
ĐỀ SỐ 2
Cõu 1. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4 (-1)2010.(-1)2011
b) B = 70.( + + )
c) C = + + + biết = = = .
Cõu 2. Tỡm x là cỏc số tự nhiờn, biết: 
a) = 
b) x : ( - ) = 
Cõu 3. 
	a) Tỡm tất cả cỏc cặp số tự nhiờn (x,y) sao cho chia hết cho 36 .	
b) Khụng quy đồng mẫu số hóy so sỏnh
Cõu 4. Cho A = 
a) Tỡm n nguyờn để A là một phõn số.
b) Tỡm n nguyờn để A là một số nguyờn.
Cõu 5. Cho tam giỏc ABC cú ABC = 550, trờn cạnh AC lấy điểm D (D khụng trựng với A và C). 
	a) Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
	b) Tớnh số đo của DBC, biết ABD = 300.
c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900. Tớnh số đo ABx.
d) Trờn cạnh AB lấy điểm E (E khụng trựng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.
ĐỀ SỐ 3
Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau một cỏch hợp lý :
	a) .
	b) 
	c) 
	d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374)
	e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1
Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x, biết:
	a) 
	b) 
	c) 11 - (-53 + x) = 97
	d) -(x + 84) + 213 = -16
Bài 3 : (2 điểm) Tỡm hai số tự nhiờn a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b.
Bài 4 : (3 điểm)
a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
b) So sỏnh M và N biết rằng : .
	 .
Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.
Chứng tỏ rằng OA < OB.
Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại ?
Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).
-------------------------------------------------------------------------
ĐỀ THI SỐ 4
Cõu 1 (6 điểm): Thực hiện cỏc phộp tớnh
	a) 
	b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 
	c) 
Cõu 2 (4 điểm): Cho A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6+ ... + 19 - 20
	a) A cú chia hết cho 2, cho 3, cho 5 khụng?
	b) Tỡm tất cả cỏc ước của A.
Cõu 3 (4 điểm):
	a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liờn tiếp bao giờ cũng nguyờn tố cựng nhau.
	b) Tỡm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 16 +...+ x = 501501
Cõu 4 (6 điểm): Cho tam giỏc ABC cú BC = 5cm. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm.
a) Tớnh độ dài BM.
b) Cho biết = 800, =600. Tớnh .
c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm. Tớnh độ dài BK.
-----------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 5
Bài 1: ( 2.0 điểm ) 
a) Rỳt gọn phõn số: 
b)So sỏnh khụng qua quy đồng:
Bài 2: ( 2.0 điểm ) 
Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau: 
a)
b) 
Bài 3: ( 2.0 điểm ) 
Một người bỏn năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bỏn một giỏ cam thỡ số lượng xoài cũn lại gấp ba lần số lượng cam cũn lại. Hóy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?
Bài 4: ( 3.0 điểm ) 
 	Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự . Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB. 
a) Tớnh số đo mỗi gúc. 
b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC. Tớnh số đo gúc AOD.
c) Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thờm 2006 tia phõn biệt (khụng trựng với cỏc tia OA;OB;OC;OD đó cho) thỡ cú tất cả bao nhiờu gúc?
Bài 5: ( 1.0 điểm ) 
	 Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .
 Chứng minh rằng p + 8 là hợp số 
---------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 6
	Cõu 1(3,0 điểm): Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau:
 a. 
 b. 
 Cõu 2(4,0 điểm): Tỡm cỏc số nguyờn x biết.
a. 
b. 	
c. 
Cõu 3(5,0 điểm): 
	a, Một số tự nhiờn chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đú chia cho 91 thỡ dư bao nhiờu? 
	b, Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thỡ vựa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tớnh số học sinh khối 6? 
Cõu 4(6,0 điểm): 
	Cho gúc bẹt xOy. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ xy,vẽ cỏc tia Oz và Ot sao cho .
	a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ?
	b. Chứng tỏ tia Ot là tia phõn giỏc của gúc yOz?
	c.Vẽ tia phõn giỏc On của gúc xOz. Tớnh gúc nOt?
Cõu 5(2,0 điểm):
	 Cho n là số nguyờn tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyờn tố hay là hợp số.
---------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 7
Bài 1(1,5đ): Tìm x
a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
Bài 2 (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng:
Bài 3 (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:
a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.
b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
c) Có thể kết luận gì về số liền trớc của một số dương và số liền sau của một số âm?
Bài 4 (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dơng. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.
Bài 5 (2đ). Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.
Bài 6 (1,5đ): Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng:
a) 
b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại.
ĐỀ SỐ 8
Cõu 1: (1,5 điểm)
Tỡm x, biết: - (x + 84) + 213 = -16.
Tỡm x,biết: 
Cõu 2: (2,0 điểm)
a) Cho p và p + 4 là cỏc số nguyờn tố ( p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
b) Chứng minh rằng: nếu (d + 2c + 4b) 8 thỡ .
Cõu 3: (1,5 điểm) Cho phõn số A = 
Tỡm cỏc giỏ trị của n để A là phõn số.
Tỡm n để A cú giỏ trị nguyờn.
Cõu 4: (2,0 điểm) 
So sỏnh: 31111 và 17139.
Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất biết số đú chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4.
Cõu 5: (2,0 điểm) Trờn đoạn thẳng AC cú độ dài 12cm, lấy điểm B sao cho AB = 5cm.
	a) Tớnh độ dài của đoạn thẳng BC.
	b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, BC. Tớnh độ dài đoạn thẳng MN.
	c) Lấy điểm D thuộc tia đối của tia CA sao cho CD = 7cm. Chứng tỏ rằng điểm C là trung điểm của đoạn thẳng BD.
Cõu 6: (1,0 điểm) Tớnh tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 99.100.
--------------- HẾT ---------------
ĐỀ SỐ 9
Cõu 1. (3,0 điểm):
	Cho A = . Tỡm giỏ trị của n để:
	a) A là một phõn số.
	b) A là một số nguyờn
Cõu 2. (4,0 điểm):
	a) Khụng quy đồng hóy tớnh tổng sau: A = 
b) So sỏnh P và Q, biết: P = 
 và Q = 
 Cõu 3. (3,0 điểm): Tỡm x, biết: 
(7x-11)3 = 25.52 + 200
 3 x + 16 = - 13,25
Cõu 4. (3,0 điểm):	
	 Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng số cũn lại. Cuối năm cú thờm 4 học sinh đạt loại giỏi nờn số học sinh giỏi bằng số cũn lại. Tớnh số học sinh của lớp 6A.
Cõu 5. (2,0 điểm):
	Cho là số cú sỏu chữ số, chứng tỏ số là bội của 3.
Cõu 6. (5,0 điểm):
 Cho , trờn tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trờn tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trờn tia Ay.
Tớnh BD.
 b) Biết = 850, = 500. Tớnh .
 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tớnh BK 
 ___________ Hết ___________
ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Cho Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tỡm a và b.
b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho: 5x + 12y = 26.
Bài 2:	(4,0 điểm)
a)Tỡm cỏc số nguyờn a, b biết rằng: 
b) Tỡm x, biết : ( + + . . . + ) . x = 
Bài 3: (4,0 điểm)
	a) Cựng một cụng việc nếu mỗi người làm riờng thỡ 3 người A, B, C hoàn thành cụng việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đú người C chuyển đi làm việc khỏc, người A cựng làm với người B tiếp tục cụng việc cho đến khi hoàn thành. Hỏi người A làm trong mấy giờ?
b) Cho D = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 519 + 520. Tỡm số dư khi chia D cho 31.
Bài 4:	(4,0 điểm)
a) So sỏnh M và N biết: M = ; 	N = 	
 b) Thực hiện tớnh:
Bài 5: (4,0 điểm)
	a) Cho: = 1200, = 500. Gọi Om là tia phõn của gúc . Tớnh 
 b) Cho 20 điểm phõn biệt trong đú cú đỳng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 20 điểm đú vẽ được tất cả bao nhiờu đường thẳng?
-----------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 11
Cõu 1. (2,0 điểm)
a) Tỡm số tự nhiờn x , biết : (++ . . . +).x = 
b) Thực hiện phộp tớnh: 
A = 2016.
Cõu 2, (2,5 điểm) 
a)Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12
b)Tỡm số tự nhiờn sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
c) Tỡm tất cả cỏc số M =, biết rằng số M chia hết cho 99.
Cõu 3. (2,0 điểm) 
a) Chứng minh rằng phõn số sau là phõn số tối giản với mọi số tự nhiờn n: .
b) Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiờn chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đú chia hết cho 2015.
Cõu 4. (2,0 điểm) 
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trờn tia đối của tia BA lấy O (O khỏc B). So sỏnh độ dài đoạn thẳng OM và trung bỡnh cộng của hai đoạn thẳng OA và OB.
b) Cho 10 đường thẳng đồng quy tại O. Hỏi cú bao nhiờu gúc ở đỉnh O được tạo thành (khụng kể gúc bẹt) ?
Cõu 5. (1,5 điểm) 
a) Cho tổng : . Chứng minh rằng : 
b) Tỡm 2 số tự nhiờn A và B biết rằng A cú n ước số tự nhiờn là a1, a2, ..., an và B cú m ước số tự nhiờn là b1, b2, ..., bm thỏa món : 
 a12.a22...an2 = 729 và b12.b22...bm2 =1296.
--------------------------------Hết--------------------------------
ĐỀ SỐ 12
Bài 1: (5,0 điểm)
 1. Tớnh giỏ trị biểu thức một cỏch hợp lý
 a) : b) 
 2. Chứng minh rằng C = 
Bài 2: (4,0 điểm) 
 1. Cho a. b là cỏc số nguyờn thỏa món: (2a + 7b) 3. Chứng tỏ (4a + 2b) 3
 2. Biết p và l0p +1 đều là số nguyờn tố (p > 3). Chứng tỏ 5p +1 chia hết cho 6
Bài 3: (4,0 điểm)
 1. Tỡm số tự nhiờn x, biết: 
n + 1 n-2
r
đạt giỏ trị lớn nhõt.
 2.Tỡm giỏ trị nguyờn của n để biểu thức D = đạt giỏ trị lớn nhất ?
Bài 4: (6,0 điểm)
	Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM.
 a) Tớnh BN khi BM = 2cm. 	
 b) Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng AB, vẽ cỏc tia Ax và Ay sao cho . Tớnh .
	c) Xỏc định vị trớ của điểm M trờn đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN cú độ dài lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm)
n - 1 chữ số 0
n chữ số 1
 Cho số a = ; số b = với n là số tự nhiờn, n > 1
 Chứng minh rằng a.b + 1 là số chớnh phương
-----------------------------------------------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 13
Bài 1 (4 điểm) : Thực hiện phộp tớnh
 a/ 25 – [ 49 – ( 23.17 – 23. 14)]
b/ 
c/ 
Bài 2 (4 điểm) :
	a/ Tỡm x biết : (x + 1) + (x + 2) + . . . + (x + 100) = 5750.
b/ Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y biết : (x + 1)(2y – 5) = 143
Bài 3 (4 điểm) :
a/ Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi số nguyờn dương n.
b/ Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
Bài 4 (6điểm) : Cho hai góc kờ̀ bù xOz và yOz biờ́t rằng : 
a/ Tính sụ́ đo của các góc xOz và yOz.
b/ Trờn mụ̣t nữa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ tia Om sao cho 
 Tia Om có phải là tia phõn giác của góc xOz khụng ? Vì sao?
c/ Trong trường hợp tia Om là tia phõn giỏc của gúc xOz, gọi On là tia phõn giỏc của gúc yOz. Chứng tỏ rằng .
Bài 5 (2 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y thỏa món 11x + 18y = 120. 
----------------- Hết -------------------
	ĐỀ SỐ 14
Bài 1 (4,0 điểm). 
a) Tớnh: 
b) Tỡm x biết: 
Bài 2 (3,0 điểm).
a) Tỡm cỏc chữ số x; y để B = chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
b) Cho a và b là hai số nguyờn dương và khụng chia hết cho nhau.
 Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) = 18. Tỡm hai số a và b.
Bài 3 (3,0 điểm).
a) Cho p là tớch của 2016 số nguyờn tố đầu tiờn. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 khụng là số chớnh phương.
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của phõn số ( là số cú 2 chữ số).
Bài 4 (4,0 điểm).
a) Tỡm số tự nhiờn x, y sao cho: .
b) Hai số và viết trong hệ thập phõn và viết liền nhau tạo thành một số. Hỏi số đú cú bao nhiờu chữ số?
Bài 5 (5,0 điểm).
Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trờn đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 6cm, AC= 2cm.
a) Tớnh BC.
b) Giả sử cho , tớnh .
c) Trờn đường thẳng d lấy thờm 2015 điểm phõn biệt (khỏc A, B, C). Hỏi cú bao nhiờu gúc cú đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d.
Bài 6 (1,0 điểm).
Tỡm cỏc chữ số a, b, c khỏc 0 thỏa món: .
------HẾT------