Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2016 - 2017 môn: Toán học

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15 tháng 10 năm 2017
Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng:
 a. Với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2 
 không thể là số chính phương. 
 b. Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b 
 cũng là tổng của hai số chính phương.
Bài 2: (3 điểm) Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức:
 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0
Bài 3: (3 điểm) Cho hai số thực x, y thoả mãn phương trình:
 2x + 3y = 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = 3x 2 + 2y 2.
Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình: 
	 = x 2 +6x –1
Bài 5: (2 điểm)
	Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng :
Bài 5: (5 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông ở A ,đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)
	a, Tính độ dài đoạn DE
	b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC
	c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N.
	Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH .
	d, Tính diện tích tứ giác DENM 
	Hết ./.
Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................
Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................
PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP
HƯỚNG DẪN CHẤM THỨC
(Gồm có 03 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20 tháng 11 năm 2016
TT
Lời giải
Điểm
Bài1
4điểm
a.Giả sử n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = k 2 , k Î Z
 n4( n2 – 1) + 2n2 (n + 1) = k2
 (n + 1) n 2(n 3 – n2 +2) = k 2
 ( n+ 1)2 n2[( n – 1) 2 + 1] = k 2 
=>( n – 1) 2 + 1 phải là số chính phương.
Nhưng ta có: (n – 1) 2 < ( n- 1) 2 + 1 = n 2 + 2 (1 – n) < n 2
 do n >1 suy ra ( n- 1) 2 + 1 không phải là số chính phương.
 Vậy A= n6 – n4 + 2n3 + 2n2 không thể là số chính phương.
b. Giả sử a = m2 + n 2 và b = p2 + q2
 m;n;p;qÎ Z.
Ta có: a.b = (m2 + n 2 )( p2 + q2 ) = m2p 2 + m2q 2 +n2p2 +n2q2
= m2p 2 + n2q2 + 2mnpq +m2 q2 +n2p2 – 2mnpq
=(mp +nq)2 + (mq – np)2 Đ.p.c.m
Bài 2
3 điểm
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 (1)
 25x 2 + 25y 2 + 40xy + 10y – 10x + 10 = 0
25 x2 + 16 y2 + 1 + 40 xy – 10 x – 8 x + 9y2 +18 y +9 = 0
 ( 5x + 4y – 1) 2 + 9 (x – 1) 2 = 0
Vậy x = 1, y = - 1 có đẳng thức (1).
Bài 3
3 điểm
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
 (2x + 3y) 2 = ( £ ((3x2 + 2y2 )
 =( 3x2 + 2y2 )
Suy ra: 3x2 + 2y2 ³
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khí:
x và 2x + 3y = 1
 => 
Bài 4
3 điểm
 Ta có: 7x3 – 11x2 + 25x – 12 = 7x3 – 7x2 + 21x – 4x2 + 4x – 12
=7x( x 2 – x +3) – 4( x2 –x + 3) = ( 7x – 4)( x2 –x + 3)
Phương trình:
 = x 2 +6x –1
Điều kiện: x ³ ( do x2 –x +3 ³ )
 £ (7x – 4) +( x2 –x +3) = x2 +6x – 1= VP
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
7x – 4 = ( x2 –x +3) x2 – 8x + 7 = 0
 x = 1 và x = 7 thoã nmãn bài toán
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1 và x = 7
 1đ
0.5đ
0.75đ
0.5đ
0.25đ
Kẻ AK^AF 	 
	~ (g.g) 
Suy ra 	 
Hay 	 
(0,5đ)
(0,75đ)
(0,25đ)
Bài 5: 2đ
Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông AKF,ta có :
	Suy ra 	
	Hay 	
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Bài 6:
5điểm
Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp 
a.(1đ) Tính đúng DE = 6 (cm)	
b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông 
(0,5đ)
(1đ)
(1đ).
c. (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì: 	ID = IE = IA = IH	
Þ D MID = D MIH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)	
Þ MD = MH Þ D MDH cân tại M Þ MDH = MHD
Þ MDB = MBD Þ D MBD cân ở M ta có MD = MB.
Þ MB = MH (= MD) vậy M là trung điểm của BH.
Chứng ming.thì N là trung điểm của HC 
d. (0,5đ) Từ câu c suy ra: DM = BH = . 4 = 2(cm)
 EN = HC = . 9 = 4,5(cm)
Þ S DENM = (DM + EN) DE = (2 + 4,5) . 6 = 19,5 (cm2)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)