Chuyên đề Quan hệ giữa parabol và đường thẳng trong chương trình Đại số 9

Trước hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ bản thường xuyên sử dụng sau:
Cho Parabol y=a'x2 (P) và đường thẳng y = ax + b (d)
Khi đó:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x2 (P) và đường thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phương trình:
a'x2 = ax + b
 a'x2 – ax – b = 0 (*)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp xúc nhau) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phương trình đó.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của mối quan hệ này:
J Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = x + 6
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = x + 6 là nghiệm của phương trình:
x2 = x + 6
Û x2 –x – 6 = 0
D = b2 – 4ac
 = (–1)2 – 4.1.( –6)
 = 1 + 24
 = 25
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và – 2
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) y = – 5x + 4
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) y = –5x + 4 là nghiệm của phương trình:
–x2 = –5x + 4
Û x2 –5x + 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0 nên x1 = 1; x2 = 4
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4
J Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (d): y = 3x – 4
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (d): 
y = 3x – 4 là nghiệm của phương trình:
D' = b'2 – ac
 = (–3)2 – 1.8
 = 9 – 8
 = 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Thay x1 = 4 vào ta được y1 = 8
Thay x2 = 2 vào ta được y2 = 2
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)
Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (a): y = 2x – 3
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (a):
y = 2x – 3 là nghiệm của phương trình:
D' = b'2 – ac
 = (–3)2 – 1.9
 = 9 – 9
 = 0
Phương trình có nghiệm kép:
Thay x = 3 vào ta được y = 3
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)
J Dạng 3: Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –4x2 với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 là nghiệm của phương trình:
–4x2 = 4mx + m2
Û 4x2 + 4mx + m2 = 0
D = b2 – 4ac
 = (4m)2 – 4.4.m2
 = 16m2 – 16m2
 = 0 " m
Phương trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P) luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = 2(m – 1)x – 2m + 3 là nghiệm của phương trình:
 x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3 
Û x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
D' = b'2 – ac
 = [(m – 1)]2 – (2m – 3)
 = m2 – 2m +1 – 2m + 3 
 = m2 – 4m +4
 = (m – 2)2 ³ 0 " m
Phương trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
J Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt phẳng toạ độ giữa Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 5x – 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x2 với đường thẳng (d) y = 5x – 2 là nghiệm của phương trình:
 3x2 = 5x – 2 
Û 3x2 – 5x + 2 = 0
Ta có a + b + c= 3 + (–5) + 2 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
; 
Ta thấy hai nghiệm này cùng dương. Suy ra hoành độ giao điểm đều dương. Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục tung.
	Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 2x – 2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = -x2 với đường thẳng (d) y = 2x – 2007 là nghiệm của phương trình:
 –x2 = 2x – 2007 
Û x2 + 2x – 2007 = 0
Vì có a.c = 1.( –2007) < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. Do đó giao điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
J Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và Parabol.
Ví dụ 9: Cho Parabol (P) cắt đường thẳng (D): y = 2(m +1)x – m2 – 9. Tìm m để:
(D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(D) tiếp xúc với (P).
(D) không cắt (P).
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (D) 
y = 2(m +1)x – m2 – 9 là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m +1)x – m2 – 9
Û x2 – 2(m +1)x + m2 +9= 0 (1)
D' = b'2 – ac
 = [(m + 1)]2 – (m2 + 9)
 = m2 + 2m +1 – m2 – 9
 = 2m – 8
	a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
	 D' > 0
 2m – 8 > 0
 2m > 8
 m > 4
Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (D) tiếp xúc với (P) Phương trình (1) có nghiệm kép
	 D' = 0
 2m – 8 = 0
 2m = 8
 m = 4
Vậy với m = 4 thì (D) tiếp xúc với (P).
c) (D) không cắt (P) Phương trình (1) vô nghiệm
 D' < 0
 2m – 8 < 0
 2m < 8
 m < 4
Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P).
Ví dụ 10: Cho Parabol (P) cắt đường thẳng (D): y = 4x + 2m. 
a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P).
b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ giao điểm khi 
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (D)
y = 4x + 2m là nghiệm của phương trình:
x2 = 4x + 2m 
Û x2 – 4x – 2m = 0 (*)
D' = b'2 – ac
 = (–2)2 – (–2m)
 = 4 + 2m
a) (D) tiếp xúc với (P) Phương trình (*) có nghiệm kép
 D' = 0
 4 + 2m = 0
 m = –2
Vậy với m = –2 thì (D) tiếp xúc với (P).
b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
 D' > 0
 4 + 2m > 0
 m > –2
Vậy với m > –2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Khi thì hoành độ giao điểm của A, B là nghiệm của phương trình:
	x2 – 4x – 3 =0
	D' = b'2 – ac
 = (–2)2 – 1(–3)
 = 4 + 3
 = 7
Thay x1 =2 + vào ta được y1 = 11 +4
Thay x1 =2 – vào ta được y1 = 11 –4
	Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là:
	A(2 +; 11 +4); B(2 –; 11 – 4)
J Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến giữa Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 11: Cho Parabol (P) 
a) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại điểm M có hoành độ – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) viết tiếp tuyến này song song với đường thẳng 
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; ) và tiếp xúc với (P).
Giải
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b
a) Thay x = –2 vào phương trình Parabol ta được y = – 2 
Vậy M(–2; –2)
vì đường thẳng đi qua M(–2; –2) nên ta có:
–2 = –2a + b => b = 2a – 2 (1)
Mặt khác, đường thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phương trình:
Có nghiệm kép
Có nghiệm kép
Û D' = 0
Û a2 – 2b =0 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: a2 – 2(2a – 2) = 0
 a2 – 4a +4 =0
Û (a – 2)2 = 0
Û a = 2
Với a = 2 thay vào (1) ta được b = 2.2 – 2 = 2
Vậy phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là:
y = 2x + 2
b) 
Vì tiếp tuyên song song với nên ta có a = 
Suy ra phương trình đường thẳng có dạng 
Vì đường thẳng này tiếp xúc với (P) nên phương trình:
 có nghiệm kép
Û x2 + x + 2b = 0 (I) có nghiệm kép
D = b2 – 4ac
 = 12 – 4.1.2b
 = 1 – 8b
Để phương trình (I) có nghiệm kép thì D = 0
Û 1 – 8b = 0
Û b = 
Vậy phương trình tiếp tuyên cần tìm là: 
c)
Đường thẳng (d) đi qua A(1; ) nên ta có:
=> b = – a (3)
Vì đường thẳng tiếp xúc với Parabol nên phương trình:
Có nghiệm kép
Có nghiệm kép
Ta có: D' = a2 – 2b 
Để phương trình (II) có nghiệm kép thì a2 – 2b = 0 (4)
Thay (3) vào (4) ta được: a2 – 2(–a) = 0
Û a2 + 2a – 3 = 0
Suy ra a = 1 và a = – 3 
* Với a = 1 thay vào (3) ta được b = 
* Với a = 3 thay vào (3) ta được b = 
Vậy qua A(1; ) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là:
 ; 
J Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao thoả mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 1
a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1; x2. Chứng minh 
Giải
a) Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) 
y = mx – 1 là nghiệm của phương trình:
–x2 = mx – 1
Û x2 + mx – 1= 0 (*)
D = b2 – 4ac
 = m2 – 4.1.( –1)
 = m2 + 4 > 0 " m
Vì D > 0 " m, nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Ta có x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo định lí Vi-ét có: x1.x2 = –1 
=> 
Vì x1 và cùng dấu nên:
Vậy 
Ví dụ 13: Cho Parabol (P) có phương trình: và đường thẳng (D) có phương trình: y = mx – m + 2
Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Giảc sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P). Chứng minh rằng: y1+y2 ³ (2–1)(x1+x2)
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) với đường thẳng (D) y = mx – m + 2 là nghiệm của phương trình:
a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải là nghiệm của phương trình (**).
Từ đó suy ra:
42 – 2m.4 +2m – 4 = 0
=> m = 2
Vậy với m = 2 thì đường thẳng (D) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4.
b) 
(D) và (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt D' > 0
	 (–m)2 – (2m – 4) > 0
 m2 – 2m +4 > 0
 (m – 1)2 +3 > 0 luôn đúng " m
Vậy (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) 
Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) nên x1 và x2 là nghiệm của phương trình (**)
Theo định lí Vi-ét x1 + x2 =
Ta lại có: y1= mx1 – m + 2; y2 = mx2 – m + 2
Suy ra: 
y1 + y2 = (mx1 – m + 2) + (mx2 – m + 2)
 = m(x1 + x2) – 2m + 4
 = 2m2 – 2m + 4
 = [(m)2 – 4m + 4] + (2–1).2m
 = (m – 2)2 +(2 – 1).2m
 = (m – 2)2 +(2 – 1).(x1 + x2) (vì x1 + x2 = 2m)
 Trên đây tôi đã giới thiệu cùng các đồng nghiệp về bảy dạng toán quan hệ giữa Parabol và đường thẳng trong chương trình Đại số 9 mà tôi đã nghiệm được trong quá trình giảng dạy. Các bài toán về dạng này rất phong phú và đa dạng. Song do thời gian nghiên cứu chưa nhiều, bài viết có thể còn thiếu sót, tôi rất mong được sự trao đổi, góp ý của các đồng nghiệp về vấn này để việc dạy Toán nói chung và toán 9 nói riêng đạt được hiệu quả cao hơn, góp phần giúp các em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú trong giải toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi cuối cấp và kì thi tuyển sinh vào các trường THPT đạt hiệu quả cao.
Xin trân trọng cảm ơn!
Giao Hà, ngày 20 tháng 03 năm 2008
Người viết
Đặng Ngọc Dương
Email: diepngoc0307@yahoo.com.vn