Đề thi học sinh giỏi lớp 7 năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2014-2015
MễN THI: TOÁN
Ngày thi: 16/03/2015
Thời gian: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề)
 (Đề thi này cú 05 cõu, gồm 01 trang)
Cõu 1: (4,5 điểm). 
	a) Tớnh giỏ trị của biểu thức 
	b) Tớnh giỏ trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với .
	c) Tỡm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110.
Cõu 2: (4,5 điểm). 
	a) Tỡm tập hợp cỏc số nguyờn x, biết rằng: 
	b) Tìm x, biết: 
	c) Tớnh giỏ trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa món:
 + (y + 2)20 = 0
Cõu 3: (3,5 điểm). 
	a) Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng số đú là bội của 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ theo 1: 2: 3.
	b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn a, b sao cho : 2a + 37 = + b - 45.
Cõu 4: (6,0 điểm) 
	Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. 
	a) Chứng minh rằng: DADC = DABE.
	b) Chứng minh rằng: = 600.
	c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều.
	d) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. 
Cõu 5: (1,5 điểm) 
	Cho 20 số nguyờn khỏc 0 : a1, a2, a3,  , a20 cú cỏc tớnh chất sau:
* a1 là số dương. 
* Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương. 
* Tổng của 20 số đú là số õm. 
Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. 
	 .............. Hết.............
Giỏm thị xem thi khụng giải thớch gỡ thờm!
 Họ và tờn thớ sinh::........................................... SBD........................................
 Giỏm thị 1:.................................................... Giỏm thị 2:..............................
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2014-2015
MễN : TOÁN.
Nội dung
Điểm
CÂU 1 (4,5đ)
a
(1,5)
= 
Vậy : A = 0
0,75 đ
0,5đ
0,25đ
b
(1,5)
Vỡ nờn x = hoặc x = - 
Với x = thỡ: A = 2.()2 – 3. + 1 = 0
Với x = - thỡ: A = 2.(- )2 – 3.(-) + 1 = 3
Vậy : A=0 với x = và A=3 với x = - 
0,75 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c
(1,5)
Từ ; . Suy ra 
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
 = -2
Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70.
Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70.
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
CÂU 2
(4,5đ)
a
(1,5)
2) Ta cú: 
Lạicú:
Do đú: - 5 < x < mà x ẻ Z nờn x ẻ{-4; -3; -2; -1}
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
(2,0)
a) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 
suy ra 11x 0 hay x 0.
với x 0 ta có: 
suy ra x = 1- = (TM)
 Vậy:x = 
0,75đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
c
(1,0)
1) Do ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 ị + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y.
Kết hợp + (y + 2)20 = 0 suy ra = 0 và (y + 2)20 = 0
Û x = 1; y = - 2.
Giỏ trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 
là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057
Vậy C=2057
0,25 đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
CÂU 3
(3,5đ)
a
(1,5)
Gọi a, b, c là cỏc chữ số của số cú ba chữ số cần tỡm. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a b c9. 
Ta cú 1 a + b + c 27 . 
Mặt khỏc số cần tỡm là bội của 18 nờn là bội của 9,
 do đú a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27.
Theo đề bài ta cú: 
Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nờn a + b + c = 18.
Từ đú suy ra a = 3, b = 6, c = 9.
Do số phải tỡm là bội của 18 nờn chữ số hàng đơn vị chẵn,
 vỡ vậy hai số cần tỡm là: 396; 936.
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b
(2,0)
Nhận xột: Với x ≥ 0 thỡ + x = 2x
Với x < 0 thỡ + x = 0. Do đú + x luụn là số chẵn với " xẻZ.
Áp dụng nhận xột trờn thỡ + b – 45 là số chẵn với b ẻ Z.
Suy ra 2a + 37 là số chẵn ị 2a lẻ Û a = 0 . 
Khi đú + b – 45 = 38
+ Nếu b < 45, ta cú - (b – 45) + b – 45 = 38 Û 0 = 38 (loại)
+ Nếu b ≥ 45 , ta cú 2(b – 45) = 38 Ûb – 45 = 19 Û b = 64 (TM)
vậy (a; b) = (0; 64)
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
CÂU 4
(6,0đ)
a
(1,0)
Ta cú: AD = AB; và AC = AE
Suy ra DADC = DABE (c.g.c)
0,75 đ
0,25 đ
b
(1,5)
Từ DADC = DABE (cõu a), 
mà (đối đỉnh). 
Khi đú xột DBIK và DDAK suy ra = 600 (đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c
(1,5)
Từ DADC = DABE (cõu a) ị CM = EN và 
ịDACM = DAEN (c.g.c) ị AM = AN và 
 = 600. Do đú DAMN đều.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
d
(2,0)
Trờn tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ị DBIJ đều ị BJ = BI và = 600 suy ra , kết hợp BA = BD 
ịDIBA = DJBD (c.g.c) = 1200 mà = 600 
 = 600. Từ đú suy ra IA là phõn giỏc của gúc DIE
CÂU 5
(1,5đ)
(1,5)
Ta cú : a1 + (a2 + a3 + a4) +  + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ;  ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0. 
Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) +  + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) a13 + a14 < 0. 
Mặt khỏc, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0. 
Từ cỏc điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm). 
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
Chỳ ý: 
+)Nếu HS làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.
+)Nếu HS thiếu đỏp số trừ 0,25 điểm.
+)Cõu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giỏ trị trừ 0,1 điểm.
+)Cõu 2b);3b) Khụng kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.