Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Hoài Nhơn năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán 7

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN	KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
	PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO 	NĂM HỌC 2014 – 2015
	MÔN THI: TOÁN 7
	Ngày thi: 25/04/2015
	ĐỀ CHÍNH THỨC	Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)	
Bài 1: (4,5 điểm)
	a) Trong ba số a, b, c có một số dương, một số âm và một số bằng 0, ngoài ra còn biết: . Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0 ?
	b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y0).
	c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: .
Bài 2: (4,5 điểm)
	a) Cho đa thức , biết . Hãy tính .
	b) Tìm x, biết: 
	c) Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức: 
Bài 3: (4.0 điểm)
	a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
 b) Tìm hai số khác 0 biết tổng, hiệu, tích của hai số đó tỉ lệ với 
Bài 4: (4.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm và đường cao AH. Tia phân giác của góc BAH cắt BH tại D. Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = BC.
a) Chứng minh KB // AD.
b) Chứng minh KD BC.
c) Tính độ dài KB.
Bài 5: (3.0 điểm)
	Cho tam giác ABC có góc A tù. Kẽ AD AB và AD = AB (tia AD nằm giữa hai tia AB và AC). Kẽ AE AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM DE.
 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .. Phòng thi số: 
KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2014 - 2015.
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Bài
Đáp án
Điểm
1
4,5 điểm
a) Số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0
1,5đ
Ta có , nên từ 
0,5đ
+) Nếu có hai số a và b bằng 0, vô lý
+) Nếu có hai số âm b và c, vô lý
5,5đ
+) Nếu b> 0, ta xét có hai số dương b và c, vô lý a < 0
Vậy a 0 và c = 0
0,5đ
b) Tìm hai số x và y sao cho x + y = xy = x : y (y0)
1,5đ
 Từ x + y = xy x = xy – y = y(x – 1) x : y = x – 1 
0,5đ
 Ta lại có x : y = x + y x + y = x – 1 y = – 1 
0,5đ
 x = xy – y = – x + 1 . Vậy hai số cần tìm là , y = – 1
0,5đ
c) Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên a thỏa mãn: .
1,5đ
Từ 
0,5đ
 Với ; p là số nguyên tố p = 2
0,5đ
 a(a + 1) = 2 = 1.2 = (– 1).(– 2) a = 1; hoặc a = – 2
(thiếu 1 trong 2 giá trị trừ 0,5 điểm – tức là: không ghi điểm ý này)
0,5đ
2
4 điểm
a) Cho đa thức , biết . Hãy tính .
1,5đ
 Ta có: 
0,5đ
0,5đ
. Vậy: 
0,5đ
b) Tìm x, biết: 
1,5đ
 hoặc , hoặc 
0,5đ
 (Thiếu x + 10, trừ 0,25đ)
0,5đ
 . Vậy: x = 4, x = 5, x = 6
 (Thiếu một giá trị x – 5 = –1 , trừ 0,25đ)
0,5đ
c) Tính giá trị của S
1,5đ
(Mỗi bước thực hiện tính ghi 0,5đ; nếu dùng máy tính chỉ đúng kết quả không ghi điểm)
1,5đ
3
4 điểm
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
2,0đ
 Ta có: 
 Dấu “=” xảy ra 
0,5đ
 Dấu “=” xảy ra 
0,5đ
Do đó ; Dấu “=” xảy ra 
0,5đ
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là minA = 1 
0,5đ
b) Tìm hai số: 
2,0đ
 Gọi 2 số khác 0 cần tìm là x và y. Ta có: 
0,5đ
0,5đ
Từ (1) và (2) 
0,5đ
Từ (3) và (4) (vì k 0) 
Vậy hai số cần tìm là 50; 40
0,5đ
4
4 điểm
a) Chứng minh KB//AD
1,5đ
; AHD vuông ở H 
mà (vì AD là phân giác ) 
 nên cân ở C 
0,75đ
cân ở C 
 Do đó 
0,75đ
b) Chứng minh KDBC
1,5đ
 KC = BC (gt), AC = CD (cân ở C) BD = KA (1)
 cân ở C 
0,5đ
Từ (1) và (2) 
0,5đ
0,5đ
c) Tính độ dài KB:
1,0đ
Lập luận tính đúng: 
 ACD cân ở C 
0,5đ
 vuông ở D 
0,5đ
5
3 điểm
Chứng minh: 
3,0đ
 Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF = MA
0,5đ
Từ (2) 
0,5đ
0,5đ
Từ (3) và (4) 
0,5đ
mà nên hay 
0,5đ
 vuông tại K 
0,5đ
 * Mọi cách giải khác đúng, hợp logich đều đạt điểm tối đa