Đề thi chọn thi học sinh giỏi - Năm học 2016 - 2017 môn Toán 7 - Đề số 1

 Toán 7 : 
 Kỳ thi chọn HSG - năm học : 2016-2017
 Thời gian : 120 phút .
Đề số 1 :
 Câu 1(4 điểm): 
 a) Tính: 
 b) Chứng minh:
 Câu 2 ( 5 điểm): 
Tìm số tự nhiên x, y biết: 
Tìm x, y, z biết:
 Câu 3 ( 4 điểm): Cho đa thức : P(x) = 
Tìm x để P(x) = 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P(x).
 Câu 4 ( 7 điểm): Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác đó vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE. 
Chứng minh CD = BE và CD vuông góc với BE.
 Kẻ đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC tại H.
Chứng minh : Đường thẳng AH đi qua trung điểm của DE.
Lấy điểm K nằm trong tam giác ABD sao cho góc ABK bằng 300, BA = BK.
Chứng minh: AK = KD.
 -------- Hết --------
 Đáp án
CÂU
 NỘI DUNG
ĐIỂM
1
4,0
a(2,0)
Vì 2,4 .42 – 21 .4,8 = 0	
Nên A = 0
1,0
1,0
b(2,0)
0,5
0,5
0,5
0,5
2
5,0
a(3,0)
1,0
1,0
1,0
b(2,0)
 ( Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Suy ra:
0,75
0,75
0,5
3
4,0
a(2,0)
P(x) = = 6 (1)
*) Với x 3: 2x- 6 0; 2x -2 > 0
 (1) 2x – 6 + 2x - 2 = 6 x = ( TM)
*) Với 1 x < 3: 2x – 6 < 0; 2x+2 0
(1) -2x + 6 + 2x - 2 = 6 4 = 6( KTM)
*) Với x < 1: 2x – 6 < 0; 2x+2 <0
(1) -2x + 6 - 2x + 2 = 6 x = ( TM)
Vậy , x = hoặc x = 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b(2,0)
P(x) = 
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi ( 6 – 2x)(2x+2) 0
Vậy GTNN của P(x) là 8 khi 
0,5
0,5
0,5
0,5
4(7,0)
Vẽ hình đúng
0,5
a(3,0)
 vì có: AD =AB(gt); ;
 AC = AE (gt) 
Suy ra DC = BE ( 2 cạnh tương ứng); ( 2 góc tương ứng)
Gọi I là giao điểm của DC và AB.
Ta có: ( đ đ); ( c/m trên)
Mà suy ra 
Suy ra DC vuông góc với BE.
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
b(2,0)
Kẻ DM và EN lần lượt vuông góc với đường thẳng AH tại M và N.
Gọi F là giao điểm của DE và đường thẳng AH.
Ta c/m được (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AH = DM
 ( cạnh huyền – góc nhọn) suy ra AH = EN
Từ đó ta c/m được ( g.c.g)
Suy ra DF = DE
Hay đường thẳng AH đi qua trung điểm của DE.
0,5
0,5
0,5
0,5
c(1,5)
Vẽ tam giác đều BPD sao cho P và A nằm cùng phía đối với BD
Ta có: suy ra 
Suy ra suy ra (1)
Tam giác BAK cân tại B có góc B = 300 nên suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác KDA cân tại K suy ra KA = KD.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
LƯU Ý: - HS không vẽ hình không chấm điểm bài hình
 - HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.