Đề thi chọn HSG vòng 2 môn: Toán 9 - Trường THCS Phú Lương

TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG 2
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút 
Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức A = 
	1) Rút gọn A
	2) Tìm số nguyên x để A nguyên
	3) Với x, x 25, x 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	B = 
Bài 2:(4,0 điểm)
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
2) Giải phương trình 
Bài 3:(4,0 điểm)
1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và .
Chứng minh rằng: 
2) Cho 2 số thực dương thỏa mãn . Tìm GTNN của :
Bài 4:(5,0 điểm)
Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
1) Tính 
2) Chứng minh: 
3) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm nN*sao cho: n4 + n3 + 1 là số chính phương.
Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG 2
MÔN: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (6 điểm)
	Cho biểu thức A = 
	1. Rút gọn A
	2. Tìm số nguyên x để A nguyên
	3. Với x, x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	B = 
Bài 1: (6điểm)
	1. Tìm đúng điều kiện 	(2,5đ)
Rút gọn 
	2. x z => là Ư(5)	(1,5đ)
	=> 
	3. 	(2,0đ)
	=> => min B = 4 x=4
Bài 2:(4 điểm)
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy
Giải: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy 
 2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1 
2y2(x-1)- x(x-1)- y(x-1) = -1
(x-1)(2y2-x-y) = -1
*
*
Vậy nghiệm của phương trỡnh là: (2;1),(0;1)
2) Giải phương trình (1)
Điều kiện: 
(1) 
	 thỏa mãn điều kiện 
Bài 3:(4 điểm)
1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và .
Chứng minh rằng: 
Áp dụng bất đẳng thức (với x,y > 0)
Ta có: ; 
Suy ra: 	 (1)
Tương tự: (2)
	 (3)
Từ (1),(2),(3) 
Dấu "=" xảy ra 
2) Cho 2 số thực dương thỏa mãn . Tìm GTNN của :
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 7	
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. 
M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
a) Tính 
b) Chứng minh: 
c) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
 (0,5đ)
a. Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
= =1+1=2 (1,5đ)
b. Chứng minh: 
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) (1đ)
và BH = AB – AH = 2R – AH 
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) (1đ)
c. P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) (0,25đ)
Mà OH.MH(Pitago) (0,25đ)
Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH (0,25đ)
OH = (0,25đ)
Câu 5: (1 điểm)
Tìm nN*sao cho: n4 +n3+1 là số chính phương.
Câu 5: Giả sử n4 +n3 + 1 là số chính phương vì n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2
Mà hoặc
Nếu 
Thử lại ( thỏa mãn)
Khi K
 mâu thuẫn với điều kiện (1đ) 
Vậy n = 2
GV soạn đề: Bùi Công Hải