Chuyên đề hình học Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh một số hệ thức trong hình học

chuyên đề hình học
Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
để chứng minh một số hệ thức trong hình học
I/ Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
1/ a 2 + b 2 = c 2
2/ b 2 = a.b’
3/ c 2 = a.c’
4/ b.c = a.h
5/ h 2 = b’.c’
6 2 2 2
1 1 1
h b c 
II/ Bài tập
A. Đề bài Cho hình vẽ
 Chứng minh rằng
 1/ AM.AB = AN.AC
 2/ AM.AB + AN.AC = 2MN 2
3AM.BM + AN.CN = AH 2
4/
3
3
BM AB
CN AC
5/ BC 2 = 3AH 2 + BM 2 + CN 2
6/ HM.AB + HN.AC = AB.AC
7/ AH 3= BC.BM.CN
8/ AH 3= BC.HM.AN
9/ MN.BC = AN.AB + AM.AC
10/ AB 2 + HN 2 = AC 2 + BH 2
11/ 2 2 2 2
1 1 1 1
HM AB AC BH  
B. Hướng dẫn
1/ AM.AB = AN.AC = AH 2
2/ AM.AB + AN.AC = 2AH 2 = 2MN 2
3/ AM.BM + AN.CN = HM 2 + HN 2 = MN 2 = AH 2
4/
2
2
 AB BH.BC BH BM
 AC CH.BC CH NH  
 AB NH (Ta let) AC CN 
3
3
AB BM
AC CN 
5/ BC 2 = (BH + CH) 2 = BH 2 + CH 2 + 2BH.CH
 = BM.AB + CN.AC + 2AH 2
 = BM.AM + CN.AN + BM 2 +CN 2 +2AH 2
 = AH 2 + BM 2 + CN 2 + 2AH 2 (theo 3)
 = BM 2 + CN 2 + 3AH 2
6/ HM.AB = HN.AC = AH.BH + AH.CH = AH.BC = AB.AC
7/ AH 4 = BH 2 .CH 2 = BM.AB.CN.AC = BM.CN.AH.BC
 AH 3= BM.CN.BC
8/ Chứng minh BM.CN = AM.AN Kết hợp với 7 suy ra đpcm
h
c' b'
a
c
b
M
N
H CB
A
9/ AM NH CN AM. AN 1AB AB AC .AB AC    
 AM.AC + AN.AB = AB.AC = AH.BC = MN.BC
10/ AB 2 - BH 2 + HC 2 = AH 2 +HC 2 = AC 2
 AB 2 + HC 2 = AC 2 + BH 2
11/ 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AB AC BH AH BH HM    
Người thực hiện
Phùng Mạnh Điềm