Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC: 2012 – 2013
Môn thi: Toán lớp 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (4 điểm)
Cho biểu thức: M = 
1. Rút gọn M. 
2. Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2. (4 điểm)	
	1. Giải hệ phương trình: 
2. Giải phương trình: 
Bài 3. (4 điểm)
1. Cho x, y, z . Chứng minh rằng: 
2. Cho đường thẳng (d): (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b) Tính m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
1. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C). Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích tam giác AMB.
2. Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE. So sánh với .
Bài 5. (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. Chứng minh E là trung điểm của AH
-------------------- Hết ------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
PHÒNG GD – ĐT TRÀ CÚ
 VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2012 – 2013
Môn: Toán lớp 9
Bài
Đáp án
Điểm
1.1
(2,5đ)
Với , ta có: 
0.5
 M =
 = 
0.5
 = 
 = 
0.5
 =
0.5
 = =
0.5
1.2
(1,5 đ)
0.5
M nhỏ nhất lớn nhất
0.25
 nhỏ nhất (Vì phân thức dương, tử không đổi và mẫu dương)
0.25
Ta có: , dấu “=” xảy ra khi x = 0
0.25
Vậy Min M = 0 khi x = 0
0.25
2.1
(2.0 đ)
Giải hệ phương trình: 
Từ phương trình (1) có x = 4 - 2y
0.25
Thay x = 4 - 2y vào phương trình (2) được: 
(4 - 2y)2 – y(4 - 2y) + 3y2 + 2(4 - 2y) – 5y -4 = 0
9y2 – 29y + 20 = 0 
(HS có thể giải bằng CTNo hoặc đưa về phương trình tích)
0.5
0.5
Với y1 = 1 x1 = 2
0.25
0.25
Hệ phương trình có 2 nghiệm (2;1) và 
0.25
2.2
(2.0 đ)
ĐK: 
0.25
Đặt 
0.25
Phương trình đã cho trở thành: t2 + t -12 = 0 (t-3)(t+4) = 0
0.25
Giải ra được t1 = 3 (Nhận) ; t2 = -4 (Loại)
0.25
Với t1 = 3 
0.25
0.5
Tập nghiệm của phương trình là 
0.25
3.1
(2.0 đ)
Áp dụng BĐT côsi với hai số không âm ta có : 
0.5
0.5
0.5
Suy ra: 
0.25
Vậy 
0.25
3.2.a
(1.0 đ)
Giả sử đường thẳng (d) đi qua điểm M(xo;yo) với mọi m, ta có: 
(m–2)xo+(m –1)yo=1 đúng với m
(xo+yo)m–(2xo+yo+1) = 0 đúng với m (1)
0.25
(xo + yo) = 0 xo = -yo
Thay xo = -yo vào phương trình (1) và giải ra được 
0.5
Vậy các đường thẳng (d) đi qua điểm cố định M(-1; 1) với mọi m 
0.25
3.2.b
(1.0 đ)
Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc d
Kẻ OHd Giá trị lớn nhất của 
0.25
0.25
4m2 – 12m + 9 = 0(2m - 3)2 = 0
0.25
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn nhất khi 
0.25
4.1
(2.0 đ)
 (gnt chắn nửa đường tròn)
0.25
 (cùng phụ với )
0.25
Suy ra (g.g)
0.25
0.25
0.5
0.5
4.2
(3.0 đ)
§Kẻ AHBC AFEH là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
0.25
Ta Có: (gt) ; AB = AD (gt)
0.5
vuông cân tại A
0.25
§Tứ giác ADEB có: 
 ADEB nội tiếp được đường tròn
0.25
 (cùng chắn )
0.25
Do đó vuông cân tại H AH = HE = AF
0.25
 vuông nên 
0.25
Do AB < AC nên 
0.25
0.25
0.25
0.25
5
(3.0đ)
§ Có (t/c tiếp tuyến); (gt) 
0.25
 (HQ định lý Talet) (1)
0.25
 (1)
0.25
§ Lại có PB = PA (t/c tt), OB = OA (= R) 
0.25
PO là đường trung trực của AB 
0.25
Mặt khác (Do là góc nội tiếp chắn nửa đt)
0.25
Do đó PO//AC
0.25
(Đồng vị)
0.25
Suy ra (g-g)
0.25
 (2)
0.25
Mà BC = 2.BO (3)
0.25
Từ (1), (2) và (3) suy ra AH = 2.EH, hay E là trung điểm AH
0.25
(Mọi cách giải khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ đều được hưởng trọn số điểm)