Đề thi chọn học sinh giỏi vào lớp THPT chuyên môn Toán - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT TRƢƠNG 
QUANG AN 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH VÀO LỚP THPT CHUYÊN 
TOÁN 
NĂM HỌC 2017 – 2018 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 06/05/2017 
( Đề thi gồm có 01 trang ) 
Câu 1 (2,0 điểm): 
a) Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên và a + d , (b1)c , ab – a + c chia hết cho m. 
Chứng minh rằng 2017(abn + cn + d ) chia hết cho m với mọi số tự nhiên n 
b) Cho x, y thỏa mãn: 
 2016 2017 2016 2016 2017 2016x x x y y y           
Chứng minh: x y 
Câu 2 (2,0 điểm): 
a) Giải phương trình    
3
3 1 1 2 2 1 2x x x x x        
b) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh sau: 
   
23 4 2 2
1 1 4
x xy x y
x x y y
    

   
Câu 3 (2,0 điểm): 
a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2 2 22 1; 2 3; 3 4p p p   đều là số nguyên tố. 
b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 23 18 2 3 18 27x y z y z x     . 
Câu 4 (3,0 điểm): 
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. AB, 
AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung BC không chứa D lấy 
F(F  B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N  F) và cắt đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ADE tại P(P  A). 
a) Giả sử 060BAC  , tính DE theo R. 
b) Chứng minh AN.AF = AP.AM 
c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC. Các 
đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức 
BC BD CD
FH FI FK
  đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5 (1,0 điểm):Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn: 
; ; 1a b c d ad bc d a      . 
Chứng minh rằng a là số chính phương. 
------------- HẾT ------------ 
Họ và tên thí sinh: Số báo danh . 
 Chữ kí giám thị 1  Chữ kí giám thị 2 ..
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
SỞ GD&ĐT TRƢƠNG 
QUANG AN 
ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI HỌC SINH TUYỂN VÀO THPT CHUYÊN 
MÔN TOÁN NĂM HỌC 2017– 2018 
Lƣu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm 
CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM 
Câu1 
2,0 
điểm 
a) 
1,0điểm 
Đặt Tn = a.b
n
 + c.n + d,nN. 
Ta chứng minh ―Tn chia hết cho m‖ (*) bằng qui nạp theo n. 
Với n = 0 ta có: T0 = (a +d) m ( theo gt) do đó (*) đúng với n = 0. 
Giả sử (*) đúng với n = k, nghĩa là Tk m. 
Ta chứng minh (*) đúng với n = k+1. 
0,25 
Thật vậy, ta có Tk+1 – Tk = 
= a.b
k+1
 – a.bk + c 
= b
k
.(a.b – a + c) – bk.c + c 
= b
k
.(a.b – a + c) – c.(bk –1) 
= b
k
(ab – a + c) – c(b -1)(bk-1 + ... + b + 1). 
0,25 
Do đó: (Tk+1 – Tk ) m ( vì theo giả thiết ta có ab – a + c và (b–1)c 
m). Mà Tk m (theo giả thiết qui nạp), nên Tk+1 m. 
Vậy Tn m  n  N. 
0,25 
 Kết luận 2017(abn + cn + d ) chia hết cho m với mọi số tự nhiên 0,25 
b) 
1,0điểm 
2016 2017 2016 2016 2017 2016x x x y y y           (1) 
ĐKXĐ: 2016 ; 2016x y   
(1) 2016 2016 2017 2017 2016 2016 0x y x y y x             
Nếu x khác y và 2016 ; 2016x y   thì 2016 2016x y   >0; 
2017 2017x y   >0; 2016 2016x y   >0 , do đó (1) 
0,25 
 
1 1 1
0
2016 2016 2017 2017 2016 2016
x y
x y x y x y
 
               
(2) 
0,25 
Khi đó dễ chứng tỏ 
1 1
0
2016 2016 2017 2017x y x y
 
     
0,25 
Mà 0x y  nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0 
Nếu x=y dễ thấy (1) đúng. Vậy x = y. 
0,25 
Câu 2 
2,0 
điểm 
a) 
1,0 điểm 
    
3
3 1 1 2 2 1 2x x x x x        (1) 
ĐKXĐ: x 1  
Đặt: 1; 2y x z   Khi đó (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) 
Chứng minh được (2) (x+y)(x+z)(z+x) = 0 
0,25 
Với: x + y = 0 1 0 1x x x x       
1 5
2
x

  ( Thỏa mãn) 
0,25 
Với: x + z = 0 2 0 2x x     ( không thỏa mãn). 0,25 
Với: y + z = 0 1 2 0x    - vô nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm: 1 5
2
x

 
0,25 
b) 
1,0 ®iÓm 
   
23 4 2 2
x 1 + y 1 = 4
x xy x y
x y
    

 
2 2 2
2 2 2 2
3 4 2 2 0 2 5 2 0
x + y 4 0 x + y 4 0
x xy x y x xy y x y
x y x y
            
  
         
0.25 
Ta có:   2 22 5 2 0 2 2 1 0x xy y x y y x y x            
2y x   hoặc 2 1y x  
0.25 
Với 2y x  thay vào (2) ta được: x2 – 2x +1 = 0 suy ra x = 1 
 Ta được nghiệm (1;1) 
0.25 
2 1y x  thay vào (2) ta được: 5x2 – x – 4 = 0 , suy ra x = 1;
4
5
x

 
Ta được nghiệm (1;1) và (
4 13
;
5 5
 
) 
Vậy hệ có nghiệm (1;1) và (
4 13
;
5 5
 
) 
0.25 
Câu 3 
2,0 
điểm 
a) 
1.0 điểm 
Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2 2 22 1; 2 3; 3 4p p p   đều là số 
nguyên tố. 
+) Nếu p=7k+i; k,i nguyên, i thuộc tập 1; 2; 3   . Khi đó 2p chia cho 7 
có thể dư: 1;4;2 
0.25 
Xét 2 2 22 2 1; 2 3& 3 4 7p p p p      
 Nếu 2p chia cho 7 dư 1 thì 2 3 4p  chia hết cho 7 nên trái GT 
 Nếu 2p chia cho 7 dư 4 thì 2 2 1p  chia hết cho 7 nên trái GT 
 Nếu 2p chia cho 7 dư 2 thì 2 2 3p  chia hết cho 7 nên trái GT 
0.25 
+) Xét p=2 thì 2 3 4p  =16 (loại) 0.25 
+) Xét p=7k, vì p nguyên tố nên p=7 là nguyên tố, có: 
2 2 22 1 97; 2 3 101; 3 4 151p p p      đều là các số nguyên tố 
Vậy p =7 
0.25 
b) 
1,0 ®iÓm 
Giả thiết  
2 2 2 2 23 3 18 2 3 54x y z y z      (1) 
+) Lập luận để 2 2 23 3 9 9z z z z    (*) 
0,25 
(1) 2 2 2 23( 3) 2 3 ( 6) 54(2)x z y z      
(2) 2 2 2 2 2 254 3( 3) 2 3 ( 6) 3( 3) 2.9 3 .3x z y z x y          
2 2( 3) 3 12x y   
0,25 
2 2 24 1; 4y y y     vì y nguyên dương 
Nếu 2 1 1y y   thì (1) có dạng: 
 
2 2 2 2 2723 3 5 72 5 72 9 3
5
x z z z z z           (vì có(*)) 
Khi đó    
2 2
3 3 27 3 9x x     , x nguyên dương nên tìm được x=6 
0,25 
Nếu 2 4 2y y   (vì y nguyên dương) thì (1) có dạng: 
 
2 2 2 2 23 3 14 126 14 126 9 9 3x z z z z z           (vì z nguyên dương) 
Suy ra 2( 3) 0 3x x    (vì x nguyên dương) 
Đáp số 
3 6
2; 1
3 3
x x
y y
z z
  
 
  
   
0,25 
Câu 4 
3,0 
điểm 
a) 
1,0 ®iÓm 
Vẽ hình (1 trường hợp) 
M
P
N
E
OB
D
C
A
F
I
H
K
0,25 
Sđ
0
0180 d d 60
2
s DE
BAC s DE

   
0,25 
Suy ra 
060EOD  nên tam giác OED đều 
0,25 
suy ra ED = R. 
0,25 
b) 
1,0 ®iÓm 
APE ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE) 
 ABM ADE (Cùng bù với góc EDC) 
Suy ra: ABM APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM 
0,25 
Nên . .
AE AM
AE AB AM AP
AP AB
   (1) 
0,25 
 Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF 
. .
AE AF
AE AB AN AF
AN AB
   (2) 
0,25 
 Từ (1) và (2) suy ra: AN.AF = AP.AM 
0,25 
c) 
1,0 ®iÓm 
Xét I nằm giữa B, D( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD) 
 Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK FCK ( cùng bằng FBD ), suy ra tứ 
giác CKFH nội tiếp nên 
090FKC  . 
0,25 
Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:
DK BH
FK FH
 
Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:
CK BI
FK FI
 
Suy ra: 
DC BH BI
FK FH FI
  
0,25 
DC BD BH BD BI BH ID
FK FI FH FI FI FH FI
      
Mà
ID HC
FI FH
 suy ra: 
DC BD BH HC BC
FK FI FH FH FH
    
0,25 
Vậy 
2BC BD CD BC
FH FI FK FH
   nên 
BC BD CD
FH FI FK
  nhỏ nhất khi FH lớn nhất 
khi F là trung điểm cung BC 
0,25 
Câu 5 
1,0 
điểm 
Đặt ad bc t  . Ta có: 
( ) 1 ( ) 1 0
t t t a
a d b c d c d c d c
d c cd c
   
                
   
1a d b c     . 
Khi đó: 
   
2 2
2 1 2 1 1d a d a ad b c bc c b            (*). 
0,25 
Kết hợp với giả thiết 1d a  suy ra: 1d a  . 
Dấu bằng ở (*) xảy ra khi và chỉ khi: 2 1
1
b c
a b d
a d b c

   
   
. 
0,25 
Ta có: 
2bc b
ad bc a
d d
    . Suy ra: 
2
22 1 ( )
b
b d d b d
d
      . 
0,25 
Khi đó: 21 1 1 ( 1)d a a d d b a d b            . 
Vậy a là số chính phương. 
0,25 
--Hết— 
CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI 
,NHƢNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN 
TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƢỠNG HSG 
TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI –VÙNG 
ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM 
Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! 
Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần 
nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại 
bất công với tôi như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn 
Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải 
không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn cho 
xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà 
và tiền .Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt ra 
đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao người ta 
có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình 
lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không 
được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người bần cùng ,kẻ thì mua kg nho 
Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc 
trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới thượng 
lưu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như 
bèo mà ―cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa ― 
Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! 
Tôi tên là :Trương Quang An 
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán 
tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự 
nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ 
tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì tháng 
nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương 
,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống 
hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều 
để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho 
người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là 
học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có 
hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra 
Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự 
với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa 
.Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển 
mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên 
viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ 
Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí 
Tên : Trương Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 
 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm 
việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng 
đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia 
tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : 
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp 
trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc 
thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio 
cấp trường . 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra 
kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục 
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí 
toán học và tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi 
đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở quê 
Quảng Ngãi 
-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện 
nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào 
chuyên toán 
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không 
thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học 
hỏi 
-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày 
bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học 
tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như 
một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích 
thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra 
kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất hay 
,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước vào 
sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài 
trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 
2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh 
viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật 
.Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những 
ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi 
.Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính 
đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh 
các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ 
T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước 
cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán học 
.Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run 
luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và 
tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không 
biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thư nhận 
tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề 
ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha 
mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn 
cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi 
chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí như một 
phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng 
cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi 
đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có 
.Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp 
ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm cuộc 
sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên 
giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ đề đi làm .Qua 
nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên 
nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống 
không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công .Tôi hiện nay 
có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm 
ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng 
nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên 
đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính 
quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia 
đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu 
trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 .Không biết 
tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi không .Lương 
hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư phạm , 
 Một ngƣời đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , 
 tạp chí toán tuổi thơ 
 Nghĩa Thắng ,Tƣ Nghĩa ,Quảng Ngãi 
 Trƣơng Quang An