Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3) năm học: 2008 - 2009 môn: Toán

 Phòng GD-ĐT nga Sơn	kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3)
 năm học : 2008 - 2009
 Môn : Toán 
 	 (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bài 1 ( 3,0 điểm)
	Cho các số dương: a; b và x =. Xét biểu thức P = 
Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (3,0 điểm)
	Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
Bài 3 ( 3,0 điểm)
	Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =; b =.
Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn)
Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.
Chứng minh Sn – 2 = . Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương.
Bài 4 (5,0 điểm)
	Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).
Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.
Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Bài 5: (4đ): Cho DABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N . 
a) Chứng minh : 
b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q.
 Chứng minh PQ//BC.
Bài 6: (2 điểm)
 Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng :
------------- Hết-------------
hướng dẫn chấm: Đề số 3
Câu 1. (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải
Điểm
(2.0 điểm)
Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1)
Xét a – x = (2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0 (3)
Từ (1); (2); (3) P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x = 
 a - x = 
 P = 
Nếu 0 < b < 1 P =
Nếu b P = 
2. (1.0 điểm)
Xét 2 trường hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = P
Nếu b, a dương tuỳ ý thì P = 
Ta có: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải
Điểm
Biến đổi tương đương hệ ta có
Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)
(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0
x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
1,00
0,50
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
Câu 3 (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải
Điểm
(1,0 điểm)
Với n ≥ 1 thì Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1)
Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2)
Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh
2. (1.0 điểm)
Ta có: S1 = 3; S2 = 7
Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn
Do S1, S2 Z nên S3 Z; do S2, S3 Z nên S4 Z
Tiếp tục quá trình trên ta được S5; S6;...; S2008 Z
3. (1.0 điểm)
Ta có Sn – 2 = 
 = 
 = đpcm
Đặt a1 =; b1 = a1 + b1 = ; a1b1 = 1
Xét Un= 
Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 - b1n + 1) – a1b1(a1n - b1n) Un+2 = Un+1 – Un
Ta có U1 = 1 Z; U2 = Z; U3 = 4 Z; U4 = 3 Z;...
Tiếp tục quá trình trên ta được Un nguyên n lẻ
Vậy Sn – 2 là số chính phương n = 2k+1 với k Z và 01003
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4 (5,0 điểm)
F
Tóm tắt lời giải
Điểm
O1
O2
O
E
A
B
C
M
I
N
D
S
1. (2,5 điểm) O1M; O2N MN O1M/ / O2N
 Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B
Các tam giác O1ME; O2NB lần lượt cân tại O1 và O2 nên ta có: MEO1=NBO2 (1)
Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + MEO1= 900 (2)
 MAE + NBO2 = 900 AFB = 900 
 Tứ giác FMEN có 3 góc vuông Tứ giác FMEN là hình chữ nhật
 NME = FEM (3)
Do MNMO1 MNE + EMO1 = 900 (4) 
Do tam giác O1ME cân tại O1 MEO1 = EMO1 (5)
Từ (3); (4); (5) ta có: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (đpcm)
2. (2,5 điểm)
Ta có EB = 12 cm O1M = 3 cm < O2N = 6 cm
 MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.
Gọi I là trung điểm CD CDOI OI// O1M //O2N 
SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2
Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm SO1= O1O2 = 9 cm SO =SO1 + O1O = 15cm
Mặt khác: OI = 5 cm
Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2
Ta có: CO = 9 cm CI2 + 25 = 81 CI = 
 CD = 4 cm
0,25
0.25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm)
Điểm
a)
 Kẻ 
Ta có: 
Ta có: (cgc)
 Vậy: 
 Thay vào (*) ta được (đpcm) 	
1,0
0,5
Khi là trung điểm của EF 
 +Từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt KP tại L
Ta có: 	 Do đó : 
+Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt 
 KM tại H
 Ta có 
Do đó: 
Từ (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 6: 2 điểm)
 Do a <1 <1 và b <1
 Nên 
 Hay (1)
 Mặt khác 0 <a,b <1 ; 
 Vậy 
 Tương tự ta có 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5