Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học: 2007 – 2008 môn thi: Toán lớp 12 THPT - Bảng A

Nghệ An -2008
Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học : 2007 – 2008
Môn thi : TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A
Thời gian : 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1. (6.0 điểm )
a) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm :
b) Chứng minh rằng : 
Bài 2. ( 6.0 điểm )
a) Cho hai số thực x , y thoả mãn : . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
b) Giải hệ phương trình : 
Bài 3. ( 2,5 điểm )
Chứng minh rằng : với mỗi số nguyên dương n luôn tồn tại duy nhất số thực sao cho . Xét dãy số , tìm giới hạn : 
Bài 4. ( 5,5 điểm )
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng . Biết A(2;-3) , B(3,-2) và trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình : 3x – y – 8 = 0. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng có đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O,R) tại điểm A cố định . Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới đường tròn (O,R) ( T là tiếp điểm ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d .
Chứng minh rằng đường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH
Nghệ An,12,2001: 
Nghệ An,12, 2001, 180’
Bài 1: Cho hàm số  
a)      Tìm a để hàm số có cực đại và cực tiểu và  
b)      Tìm a để 
Bài 2 : a) Chứng minh rằng : , ta có :
c)      Tìm các giá trị của k để phương trình sau có nghiệm :
Bài 3: a) Cho dãy xác định như sau : 
, .Tìm số hạng tổng quát .
 b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Xét các số x,y,z thoả mãn :
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 4 : a) Một mặt phẳng Oxy cho .Điểm M di động trong mặt phẳng sao cho tam giác MAB có . Chứng minh M luôn chạy trên một elip (E) cố định .
 b) Cho tam giác ABC ,M là một điểm di động trên cạnh CB .Hạ MN , MQ tương ứng vuông góc và song song với AB .Gọi P là hình chiếu của Q trên cạnh AB và I là tâm hình chữ nhật MNPQ .Tìm quỹ tích  của I khi M chạy trên CB.
---------Hết--------
Nghệ An,12,2002: 
Thời gian 180 phút
Bài 1: a) Cho .Chứng minh rằng : 
 b) Chứng minh : phương trình không có nghiệm nguyên x, y, z khác 0
Bài 2 : a) Tìm các điểm trong đoạn , tại đó hàm số đạt được giá trị cực đại , cực tiểu .
 b) Chứng minh hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :                           
Bài 3 : Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy cho đường tròn ( C ) : 
và họ đường thẳng ( D ) : ( trong đó a là tham số , m là hằng số ) 
a)      Chứng minh đường thẳng ( D) luôn đi qua điểm cố định và đi qua tâm đường tròn ( C ) .
b)      Tìm quỹ tích giao điểm của( D ) và ( C )
Bài 4: Xác định giá trị m để hai hệ sau tương đương :
, 
Hết
Nghệ An,12,2004: 
Nghệ An,12, 2004, thời gian 180 phút
Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : 
a)      Giải phưong trình :  
Bài 2: a) Tìm giá trị lớm nhất  , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 b) Tìm m để tồn tại cặp số ( x ; y )  không đồng thời bằng 0 và thoả mãn phương trình  : 
Bài 4: a) Cho a,b,c,d  là 4 số thực thoả mãn các điều kiện : 
và 
Chứng minh rằng : 
 b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho họ đường tròn (Cm) :
Chứng minh rằng : Các đường tròn (Cm) luôn luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố định khi m thay đổi .
Nghệ An,12, 2005,180’
Bài 1 : a) Giải phương trình : 
 b) Tìm m để phương trình : ,có 4 nghiệm phân biệt
Bài 2: a) Chứng minh tam giác đều là tam giác có diện tích lớn nhất trong các tam giác nội tiếp được trong đường tròn cho trước .
 b) Tìm a , b để đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 3 : Chứng minh :
a)      
b)      , trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1 và 
Bài 4: a) Trong mặt phẳng toạ độ Đề -các vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm , phương trình đường thẳng AB là và AB = 2CD . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm .
c)      Cho tam giác ABC cân đỉnh A .Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ACM và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Chứng minh GI vuông góc với CM
---------Hết--------