Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
(Đề thi có 01 trang) 
Câu 1 (2,0 điểm). 
a) Cho biểu thức 
2 2P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x          với 1 x 1   . 
Tính giá trị của biểu thức P khi 
1
x
2017
  . 
b) Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn a b c a b c 2      . 
Chứng minh rằng: 
a b c 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)
  
     
Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:  2 22x 2x 1 (2x 1) x x 2 1       
 b) Giải hệ phương trình: 
 
22
3
x y 1 xy x 1
2x x y 1
     

  
Câu 3 (2,0 điểm). 
a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: 
2 22x 2y 3x 6y 5xy 7     . 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 2n 2n n 2n 18 9     là số chính phương. 
Câu 4 (3,0 điểm). 
1) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H 
(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M (M khác A). 
 a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vuông góc với HM. 
 b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích  BHC 
đạt giá trị lớn nhất. 
2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung BC 
không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại 
E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi 
qua một điểm cố định. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn 2 2 2a b c 3   . 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a 3ab b b 3bc c c 3ca a
3
6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a
     
  
     
. 
Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần 
nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu .Tại sao cuộc đời lại 
bất công với tôi như thế .Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó 
khăn 
Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình .Một lời giải mà mình giải 
không ra .Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời .Buồn 
cho xã hội không tận dụng nhân tài .Tuyển dụng công chức là để tìm người 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Quyển 27-3-2017 1 
nhà và tiền .Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt 
ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam .Tại sao người 
ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà 
mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn 
không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong .Người bần cùng ,kẻ thì mua 
kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt 
tiền cọc trước .Nho này hiếm mà có kg nào nhập về là dân Việt Nam giới 
thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ .Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam 
rẻ như bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa 
“ 
Tôi tên là :Trương Quang An 
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán 
tuổi thơ 15 năm tuổi .Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh dự 
nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng 
,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi làm thì 
tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có 
lương ,một tháng được 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc 
sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm thêm phụ gia đình 
nhiều để có tiền trang trải cuộc sống .Cha tôi ngày xưa làm phụ hồ ,làm thuê làm 
mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán 
học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất 
lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có 
thư mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên 
không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm 
nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí 
luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ 
thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi 
trẻ 
Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí 
Quyển 27-3-2017 2 
Tên : Trương Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 
 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm 
việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng 
đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia 
tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành tích : 
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp 
trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc 
thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio 
cấp trường . 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề ra 
kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục 
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí 
toán học và tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp 
nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo ở 
quê Quảng Ngãi 
-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện 
nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào 
chuyên toán 
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không 
thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu 
học hỏi 
-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng ngày 
bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán học 
tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như 
một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi 
thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục 
đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất 
hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước 
vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 
Quyển 27-3-2017 3 
bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 
2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh 
viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật 
.Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những 
ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi 
.Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy 
tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi 
tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán 
PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã 
trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán 
học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui 
run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên 
mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh 
,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có 
thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 
tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn 
cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi 
chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi 
phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí 
như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được 
hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 
năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để 
phô tô cũng có .Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ 
nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 
thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt 
báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ 
đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi 
hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền 
trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành 
công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 
lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán 
học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong 
được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại chức ,nhưng tôi 
thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với 
mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên 
toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 
01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao 
đẳng như tôi không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được 
bằng nghề sư phạm , 
 Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ , 
 tạp chí toán tuổi thơ 
 Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi 
 Trương Quang An 
Quyển 27-3-2017 4