Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 12

ĐỀ 12
Bài 1: (6 điểm) 
 1,Cho biểu thức: K = 
a/ Rỳt Gọn K	
 b/ Tớnh giỏ trị của biểu thức K khi x = 24+ .
 c / Tỡm x để : 
2,Cho cỏc số thực dương x , y ,z thỏa món điều kiện 
 chứng minh rằng 
Bài 2: (4điểm) a ) Giải phương trỡnh 
b ) Cho a,b,c là ba số thực thỏa món : a + b +c = 
Chứng minh rằng :
Bài 3: (3điểm)
Tỡm GTNN của biết x, y, z > 0 , .
b) Chứng minh với a, b, c > 0
Bài 4:(6 điểm).Cho (O;R) và (I;r) tiếp xỳc ngoài tại A (R>r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC ( B nằm trờn đường trũn tõm O và C nằm trờn đường trũn tõm (I) . Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường trũn ở E. 
Chứng minh tam giỏc ABC vuụngtại A
OE cắt AB tại N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F; A cựng nằm trờn một đường trũn.
Chứngtỏ
Tớnh diện tớch tứ giỏc BCIO theo R ;r
Bài5: (1 điểm )Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh:
 xy2 + 2xy – 243y + x = 0
----------------Hết----------------
(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
PHềNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2015- 2016
Môn thi : Toán
Bài
í
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
ĐIỂM 
Bài 1
(6đ)
1.(4đ)
a)(2đ)
b)(1 đ)
c )(1đ
)
2)(2đ)
a, Với x³0 , x≠ 1 ta cú:
K = 
b,Ta cú : 
x = 24+
 = 24+ 
 = 24+ 
 = 24+ 
 = 25
 Thay x = 25 vào K ta cú:
 K = 
(*) Do : nờn (*)mặtkhỏc
Áp dụng BĐT Cụ-si cho 2 số khụng õm ta cú
Đẳngthứcsảyra :
0,5
0,75
0,75
0,5
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2 (4đ)
Bài 3
(3đ)
Bài 4
(6đ)
Bài 5
1đ
a,(2đ)
b(2đ)
a,
ĐK: 
Ápdụng BĐT Bunyakovsky
tacú)
lạicú
do đú PT 
Đặtthỡ
Do đú : 
Vỡvậy
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
a(1,5đ)
b(1,5)
a :. Theo bất đẳng thức Cauchy :
min A = .
b )Theo bấtđẳngthức Cauchy : .
Do đú :. Tươngtự : 
Cộngtừngvế :.
Xảyradấuđẳngthức :, trỏivớigiảthiết a, b, c > 0.
Vậydấuđẳngthứckhụngxảyra.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
a(1,5đ)
b(1,5đ)
c(1,5)
d(1,5)
Hỡnhvẽ
B E
 C
 N 
 F
 O A I
a )Ta cú : BE và AE là 2 tiếptuyếncắtnhauịAE = BE
Tươngtự ta cú AE =EC ị
ị tam giỏc ABC vuụng tai A 
b)
Theo tớnhchất 2 tiếptuyếncắtnhauthỡ EO làphõngiỏccủa tam giỏccõn AEB ịOE làtrungtrực AB hay 
Tươngtự
Màtứgiỏc FANE là hỡnhchữnhật
4 điểm F ;A ; N ;E cựngnằmtrờnđườngtrũn
c )tứgiỏc FANE là hỡnhchữnhật
vuụngtại E và( tớnhchấttiếptuyến ) Ápdụnghệthứclượngtrongtamgiỏcvuụng ta cú
Mà
d/SBCIO=? Ta cútứgiỏc BCIO là hỡnhthangvuụng
ịSBCIO=
ịS=
Ta cú xy2 + 2xy – 243y + x = 0 x(y + 1)2 = 243y (1)
Từ (1) vớichỳ ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1)2làướccủa 243.
Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5