Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS huyện Thanh Thủy năm học 2014 - 2015 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN
Đề chính thức
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có: 01 trang
Câu 1 (3 điểm)
	a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức: .
b) Chứng minh rằng nếu và đều là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố.
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho biểu thức:
Tính giá trị của A khi .
 Chứng minh rằng: 
Câu 3 (4 điểm)
Giải các phương trình sau: 
a) 
b) 
Câu 4 (7 điểm)
	Cho hình thoi ABCD. Một đường thẳng (d) đi qua qua đỉnh A của hình thoi cắt đoạn thẳng BD và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở M, N, P.
	a) Chứng minh ;
	b) Chứng minh rằng khi đường thẳng (d) thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BN.DP có giá trị không đổi;
	c) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để tích AN.AP có giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (2 điểm)
	Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
.......... Hết ..........
Họ và tên thí sinh:..SBD:
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 05 trang
A. Một số chỳ ý khi chấm bài.
Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm.
Câu 1 (3 điểm)
	a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đẳng thức: .
b) Chứng minh rằng nếu và đều là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố.
a) Ta có 
0,5
Vì và nên hoặc 
0,5
+) hoặc 
0,25
+) hoặc 
Vậy, các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là: .
0,25
b) Xét phép chia số tự nhiên a cho 3, xảy ra 3 khả năng: .
+ Nếu thì , mà nên không là số nguyên tố;
0,5
+ Nếu thì , mà nên không là số nguyên tố;
0,5
Suy ra . Mà a là số nguyên tố nên a = 3, khi đó: đều là các số nguyên tố đpcm
0,5
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho biểu thức:
Tính giá trị của A khi .
 Chứng minh rằng: 
a) ĐKXĐ: (*)
0,25
0,5
 với .
0,5
Vì nên hoặc 
0,5
Ta thấy không thoả mãn (*)
Với x = 9. Ta có A = 
0,25
b) Ta có: 
0,5
Đặt:
0,5
Khi đó, ta có: 
0,5
 (1) đúng đẳng thức đã cho được chứng minh.
0,5
Câu 3 (4 điểm)
Giải các phương trình sau: 
a) 
b) 
a) PT đã cho tương đương: 
0,5
 (1)
0,5
Vì nên PT (1) vô nghiệm.
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
1,0
b) ĐK: -1; 
0,25
Đặt 
0,5
PT đã cho trở thành: 
0,5
+) (thỏa mãn) (thỏa mãn ĐK) 
0,25
+) 
0,25
Với (thỏa mãn ĐK) 
Vậy là các nghiệm của PT đã cho.
0,25
Câu 4 (7 điểm)
	Cho hình thoi ABCD. Một đường thẳng (d) đi qua qua đỉnh A của hình thoi cắt đoạn thẳng BD và cắt các đường thẳng BC, DC theo thứ tự ở M, N, P.
	a) Chứng minh ;
	b) Chứng minh rằng khi đường thẳng (d) thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BN.DP có giá trị không đổi;
	c) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để tích AN.AP có giá trị nhỏ nhất.
a) Vì AD//BN nên ; AB//DP nên . 
1,0
Suy ra 
1,0
b) Vì AD//BN nên ; AB//DP nên . 
1,0
Suy ra (không đổi)
1,0
c) Ta có AD//BN nên ; AB//DP nên . 
Suy ra 
1,5
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
Mặt khác, ABCD là hình thoi nên tại O.
Do đó: (không đổi)
1,0
Suy ra . Đẳng thức xảy ra và đi qua điểm C.
Vậy, khi đi qua điểm C thì tích AN.AP có giá trị nhỏ nhất là .
0,5
Câu 5 (2 điểm)
	Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện .Chứng minh rằng:
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương, ta có: 
0,5
Lại có :
0,5
Do đó: 
0,5
Dấu bằng xảy ra khi: ;
 và 
0,5