Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS môn thi: Toán

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
	BÌNH ĐỊNH	KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2017 
	Đề chính thức	Môn thi: 	TOÁN
 	Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 	Ngày thi: 18/3/2017
Bài 1 (6,0 điểm).
 1. Cho biểu thức: P = 
 a) Rút gọn P.
 b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
Bài 2 (5,0 điểm).
 a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 
 b) Cho phương trình: (m là tham số). Có hai nghiệm và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
Bài 4 (7,0 điểm).
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di 
động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.
Chứng minh MB + MC = MA
Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi
 S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức:
 MH + MI + MK = 
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho . Chứng minh MA là tia phân giác của góc 
Bài 1 (6,0 điểm).
1a) Rút gọn được P = (với m 0, m 1)	
1b) 
P = = 1 + 
Ta có: P N là ước dương của 2 m (TMĐK)
Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.
2) a + b + c 4 (a, b, c Z)
Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b 
Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc 
 = 
 = 64 
 = (*)
Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1)
Mà: a + b + c 4 a + b + c 2 (theo giả thiết) (2)
Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai 
Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2
2abc 4 (**)
Từ (*) và (**) P 4 
Bài 2 (5,0 điểm).
a) (đúng)
b) PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt và 
Ta có: và 
M = = ......= 
= 
Dấu “=” xảy ra khi m = 0 
Vậy GTNN của M là khi m = 0
Bài 3 (2,0 điểm)
Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương và yz, ta có:
 + yz 
Tương tự, ta có: và 
Suy ra: (1)
Ta có: = (2)
Ta có: x + y + z (3)
Thật vậy: (*) (BĐT đúng)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
Từ (2) và (3) suy ra: (4)
Từ (1) và (4) suy ra: 
Bài 4 (7,0 điểm).
1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB
Ta có: BEM là tam giác đều BE = BM = EM
BMA = BEC MA = EC
Do đó: MB + MC = MA
Cách 2: 
Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB
Ta có: BEM là tam giác đều 
 BE = BM = EM
MBC = EBA (c.g.c) MC= AE
Do đó: MB + MC = MA
1.b) Kẻ AN vuông góc với BC tại N
Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác
 A, O, N thẳng hàng AN = 
Ta có: AN = AB.sin 
Ta có: = 
 = 
 = = 
Do đó: MH + MK + MI = + = + 
 = + 
2. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K
Tứ giác AEDB nội tiếp 
Mà: (vì MK // BC).
Do đó: Tứ giác AMKN nội tiếp
Ta có: (= ) 
DMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tại D
 DM = DK
AMD = AKD (c.g.c) 
Nên: . Ta có: 
Vậy: MA là phân giác của góc