Đề thi học sinh giỏi Toán học 9

Đề thi học sinh giỏi toán 9
(Thời gian 150 phút)
Câu 1 . Cho biểu thức: 
Rút gọn
Tìm x để A7 <1
Tìm xÎ Z để A7 Î Z
Câu2. (5điểm) :
2.1 (3điểm) Giải phương trình: 
a)
b) 
2.2) (2điểm) Cho đường thẳng có phương trình : (m +1)x - (2m -1)y – 1= 0 (a) ( m là tham số)
a./ Chứng minh rằng đường thẳng luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
b./ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng là lớn nhất.
Câu3 chứng minh rằng :
Câu4 Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu người đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đường AB.
Câu5: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12 
câu 6 Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng troøn taâm O’, ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø M veõ daây cung DE vuoâng goùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’ taïi I.
 1.Töù giaùc ADBE laø hình gì?
 2.C/m DMBI noäi tieáp.
 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD.
 4.C/m MC.DB=MI.DC
 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
 Đề 2
Câu 1 : (5điểm) Cho biÓu thøc: .
Rót gän P.	
2/T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.
T×m x ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ lµ sè nguyªn.
Câu2. (5điểm) :Giải phương trình : 
2.1)
2.2) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên 
 .
Câu 3: (3điểm) Chøng minh r»ng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt cho 48 víi mäi sè n ch½n
b Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
. n ( n+3 ) 
Câu 4: (2điểm) Chứng minh rằng .
 Câu 5:. (1điểm) Cho hàm số: .
a)Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi;
b)Chứng tỏ rằng khi m thay đổi hàm số luôn đi qua một điểm cố định.
 Câu 6: (4điểm) Cho (O;R) vaø (I;r) tieáp xuùc ngoaøi taïi A (R> r) .Döïng tieáp tuyeán chung ngoaøi BC (B naèm treân ñöôøng troøn taâm O vaø C naèm treân ñö ôøng troøn taâm (I).Tieáp tuyeán BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa hai ñöôøng troøn ôû E.	
1/ Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng ôû A.	
2/ O E caét AB ôû N ; IE caét AC taïi F .Chöùng minh N;E;F;A cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn . 
3/ Chöùng toû : BC2= 4 Rr
4/ Tính dieän tích töù giaùc BCIO theo R;r